《2025年通城学典暑期升级训练延边大学出版社八年级数学北师大版》

1. 一元二次方程的定义：只含有______个未知数,并且未知数的最高次数是______的______式方程叫做一元二次方程.
2. 一元二次方程的一般形式：我们把______(a,b,c为常数,a______0)称为一元二次方程的一般形式,其中______、______、______分别称为一元二次方程的二次项、一次项和常数项,______、______分别称为二次项系数和一次项系数.
3. 一元二次方程解的估算：要估算由实际问题所列的一元二次方程的近似解,先根据问题确定解的大致范围,再把一元二次方程化为______形式,最后通过计算进行两边夹逼,逐步获得方程的近似解.

答案： 1. 一 2 整 2. $ax^{2}+bx+c=0$ ≠ $ax^{2}$ $bx$ $c$ $a$ $b$ 3. 一般

典例1 下列方程中,是关于x的一元二次方程的为( )

A.$x^{2}+\frac{1}{x}= 0$
B.$ax^{2}+bx+c= 0$
C.$(x - 1)(x - 2)= 0$
D.$3x^{2}+x= x^{2}+2x^{2}$
点拨 先将方程化简整理后,再结合一元二次方程的概念及特征进行判断.
解答：
解有所悟：判断一个方程是否是一元二次方程,首先看方程是否是整式方程,若不是整式方程,则直接排除；若是整式方程,则进行化简,看方程是否同时满足：“一元”“二次”且二次项的系数不能为0,这几个条件缺一不可.

答案： C 解析:A选项含有分式$\frac{1}{x}$,该方程不是整式方程,因此不是一元二次方程;B选项二次项的系数不能确定是否为0,若为0,则不是一元二次方程;C选项整理后,得$x^{2}-3x+2=0$,是一元二次方程;D选项整理后,得$x=0$,这是一元一次方程,不是一元二次方程.

典例2 把方程$\frac{1}{2}(x - 1)^{2}= 3x+\frac{1}{3}$化成一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
点拨 将方程通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化成$ax^{2}+bx+c= 0(a\neq0)$的形式,再判断出二次项系数、一次项系数和常数项.
解答：
解有所悟：任何一个一元二次方程都可以通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为一般形式,一般形式不是唯一的,但习惯上都把二次项系数化为正整数. 在一般形式中,$ax^{2}$是二次项,bx是一次项,c是常数项. 其中a,b分别是二次项系数,一次项系数.

答案： 方程两边同乘6,得$3(x-1)^{2}=18x+2$.去括号,得$3x^{2}-6x+3=18x+2$.移项、合并同类项,得$3x^{2}-24x+1=0$.此方程的二次项系数为3,一次项系数为-24,常数项为1.

典例3 观察下表：
|x|1|1.5|2|2.5|3|3.5|
|$5x^{2}-24x + 28$|9|3.25|0|-0.75|1|5.25|
从表中你能得出方程$5x^{2}-24x + 28= 0$的根是多少吗？如果能,写出方程的根；如果不能,请写出方程根的大致范围.
点拨 观察表格中$5x^{2}-24x + 28$的值,找出值为0的x所对应的值或范围,问题即可解答.
解答：
解有所悟：在估算一元二次方程的近似解时,要细心观察表格中的对应数据,再根据方程的数据找到x的值或范围.

答案： 不能.根据表格中的数据,可以发现:当$x=2$时,$5x^{2}-24x+28=0$,
∴ 方程$5x^{2}-24x+28=0$有一个根是$x=2$.又
∵ 当$x=2.5$时,$5x^{2}-24x+28=-0.75$,当$x=3$时,$5x^{2}-24x+28=1$,
∴ 方程$5x^{2}-24x+28=0$的另一个根的范围是$2.5＜x＜3$.