《2025年通城学典暑期升级训练延边大学出版社八年级数学北师大版》

13. 如图,$□ ABCD的对角线AC$,$BD交于点O$,$EF过点O交AD于点E$,交$BC于点F$,$G是OA$的中点,$H是OC$的中点,连接$EG$,$GF$,$FH$,$EH$。求证：四边形$EGFH$是平行四边形。

答案：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，OA=OC，OB=OD.
∴∠ADB=∠CBD，∠DEO=∠BFO. 在△DEO和△BFO中，$\left\{\begin{array}{l} ∠EDO=∠FBO\\ ∠DEO=∠BFO\\ OD=OB\end{array}\right.$，
∴△DEO≌△BFO.
∴OE=OF.
∵G，H分别是OA，OC的中点，
∴OG=$\frac{1}{2}$OA，OH=$\frac{1}{2}$OC.
∴OG=OH. 又
∵OE=OF，
∴四边形EGFH是平行四边形.

14. 如图,在四边形$ABCD$中,$BD垂直平分AC$,交$AC于点E$,$\angle BCD= \angle ADF$,$AF\perp AC$。
(1)求证：四边形$ABDF$是平行四边形；
(2)若$AF= DF= 5$,$AD= 6$,求$AC$的长。

答案：
(1)
∵BD垂直平分AC，
∴AB=BC，AD=DC.
∴∠BAC=∠BCA，∠DAC=∠DCA.
∴∠BAC+∠DAC=∠BCA+∠DCA，即∠BAD=∠BCD.
∵∠BCD=∠ADF，
∴∠BAD=∠ADF.
∴AB//FD.
∵BD⊥AC，AF⊥AC，
∴AF//BD，又
∵AB//FD，
∴四边形ABDF是平行四边形.
(2)由
(1)，得四边形ABDF是平行四边形，
∴AB=DF，AF=BD.
∵AF=DF=5，
∴AB=BD=5. 设BE=x，则DE=5−x.
∵BD⊥AC，
∴$AB^{2}-BE^{2}=AE^{2}=AD^{2}-DE^{2}$，即$5^{2}-x^{2}=6^{2}-(5-x)^{2}$，解得$x=\frac{7}{5}$.
∴$BE=\frac{7}{5}$.
∴在Rt△ABE中，由勾股定理得$AE=\sqrt{AB^{2}-BE^{2}}=\frac{24}{5}$.
∵BD垂直平分AC，
∴$AC=2AE=\frac{48}{5}$.