《2025年通城学典暑期升级训练延边大学出版社八年级数学北师大版》

15. 新考法 新定义题 规定新运算：$a\oplus b = 3a - 2b$,其中 $a = x^{2}+2xy$,$b = 3xy + 6y^{2}$,则把 $a\oplus b$ 分解因式的结果是____。

答案： 3(x+2y)(x-2y)

16.(广安中考)已知 $a + b = 1$,则代数式 $a^{2}-b^{2}+2b + 9$ 的值为____。

答案： 10 解析：
∵a²-b²+2b+9=(a+b)(a-b)+2b+9，a+b=1，
∴原式=a-b+2b+9=a+b+9=10.

17.(9 分)把下列各式分解因式：
(1)$6(a - b)^{2}+3(a - b)$；
(2)$x(x - 1)-3x + 4$；
(3)$x^{2}(y^{2}-1)+2x(y^{2}-1)+(y^{2}-1)$。

答案： （1）原式=3(a-b)[2(a-b)+1]=3(a-b)(2a-2b+1).（2）原式=x²-x-3x+4=x²-4x+4=(x-2)².（3）原式=(y²-1)(x²+2x+1)=(y+1)(y-1)(x+1)².

18.(6 分)已知下列单项式：① $4m^{2}$；② $9b^{2}a$；③ $6a^{2}b$；④ $4n^{2}$；⑤ $-4n^{2}$；⑥ $-12ab$；⑦ $-8mn$；⑧ $a^{3}$。请在以上单项式中选取三个组成一个能够先用提公因式法,再用公式法分解因式的多项式,并将这个多项式因式分解。

答案： 答案不唯一，如4m²+4n²-8mn=4(m²+n²-2mn)=4(m-n)².

19.(7 分)两名同学将一个二次三项式 $ax^{2}+bx + c$(其中 $a$,$b$,$c$ 均为常数,且 $abc\neq 0$)分解因式,其中一名同学看错了一次项系数而分解成 $(x - 1)(x - 4)$,另一名同学看错了常数项而分解成 $(x - 5)(x + 1)$。
(1)求原多项式 $ax^{2}+bx + c$ 的二次项系数 $a$,一次项系数 $b$ 和常数项 $c$ 的值；
(2)将原多项式分解因式。

答案： （1）
∵一名同学看错了一次项系数而分解成(x-1)(x-4)，(x-1)(x-4)=x²-5x+4，
∴a=1，c=4.
∵另一名同学看错了常数项而分解成(x-5)(x+1)，(x-5)(x+1)=x²-4x-5，
∴a=1，b=-4.
∴a=1，b=-4，c=4.（2）原多项式为x²-4x+4，
∴x²-4x+4=(x-2)².

20.(10 分)先分解因式,再求值：
(1)已知 $x - 1= \sqrt{3}$,求代数式 $(x + 1)^{2}-4(x + 1)+4$ 的值；
(2)已知 $4x = 3y$,求代数式 $(x - 2y)^{2}-(x - y)(x + y)-2y^{2}$ 的值。

答案： （1）(x+1)²-4(x+1)+4=(x+1-2)²=(x-1)².当x-1=√3时，原式=(√3)²=3.（2）(x-2y)²-(x-y)(x+y)-2y²=(x²-4xy+4y²)-(x²-y²)-2y²=x²-4xy+4y²-x²+y²-2y²=-4xy+3y²=-y(4x-3y).
∵4x=3y，
∴4x-3y=0.
∴原式=0.