《2025年通城学典暑期升级训练延边大学出版社八年级数学北师大版》

5. (娄底中考)先化简,再求值：$(x+2+\frac {4}{x-2})÷\frac {x^{3}}{x^{2}-4x+4}$,其中$x是满足x≤2$的合适的非负整数。

答案： 原式$=(\frac{x^{2}-4}{x-2}+\frac{4}{x-2})÷\frac{x^{3}}{(x-2)^{2}}=\frac{x^{2}}{x-2}\cdot \frac{(x-2)^{2}}{x^{3}}=\frac{x-2}{x}.\because x≠0$且$x-2≠0,\therefore x≠0$且$x≠2.\because x$是满足$x≤2$的合适的非负整数,$\therefore x=1.\therefore$原式$=\frac{1-2}{1}=-1.$

6. 先化简,再求值：$(\frac {3}{x+1}-x+1)÷\frac {x^{2}+4x+4}{x+1}$,其中$x^{2}= 4$。

答案： 原式$=[\frac{3}{x+1}-\frac{(x+1)(x-1)}{x+1}]÷\frac{(x+2)^{2}}{x+1}=\frac{-(x+2)(x-2)}{x+1}\cdot \frac{x+1}{(x+2)^{2}}=\frac{2-x}{x+2}.\because x^{2}= 4,x+1≠0,x+2≠0,\therefore x=2$.当$x=2$时,原式$=0.$

7. 先化简$(\frac {a}{a-b}-\frac {b^{2}}{a^{2}-ab})÷\frac {a^{2}+2ab+b^{2}}{a}$,当$a= -1$时,请你选择一个适当的数作为$b$的值代入求值。

答案： 原式$=\frac{a^{2}-b^{2}}{a(a-b)}\cdot \frac{a}{(a+b)^{2}}=\frac{(a+b)(a-b)}{a(a-b)}\cdot \frac{a}{(a+b)^{2}}=\frac{1}{a+b}.b$的值不唯一,如当$a=-1$时,取$b=2,$原式$=\frac{1}{-1+2}=1.$

8. (龙东地区中考)先化简,再求值：$(\frac {x^{2}-3}{x-1}-2)÷\frac {1}{x-1}$,其中$x满足x^{2}-2x-3= 0$。

答案： 原式$=[\frac{x^{2}-3}{x-1}-\frac{2(x-1)}{x-1}]\cdot (x-1)=\frac{x^{2}-3-2x+2}{x-1}\cdot (x-1)=x^{2}-2x-1.\because x^{2}-2x-3=0,\therefore x^{2}-2x=3.\therefore$原式$=3-1=2.$

9. 先化简,再求值：$(\frac {a^{2}-4}{a^{2}-4a+4}-\frac {1}{2-a})÷\frac {2}{a^{2}-2a}$,其中$a满足a^{2}+3a-2= 0$。

答案： 原式$=[\frac{(a+2)(a-2)}{(a-2)^{2}}+\frac{1}{a-2}]\cdot \frac{a(a-2)}{2}=(\frac{a+2}{a-2}+\frac{1}{a-2})\cdot \frac{a(a-2)}{2}=\frac{a+3}{a-2}\cdot \frac{a(a-2)}{2}=\frac{a(a+3)}{2}=\frac{a^{2}+3a}{2}.\because a^{2}+3a-2=0,\therefore a^{2}+3a=2.\therefore$原式$=\frac{2}{2}=1.$

10. 先化简,再求值：$(\frac {a-1}{a}-\frac {a-2}{a+1})÷\frac {2a^{2}-a}{a^{2}+2a+1}$,其中$a^{2}-a-1= 0$。

答案： 【解析】：
本题考查分式的化简求值。
首先，对给定的分式进行化简。
考虑分子部分：
$\frac{a-1}{a} - \frac{a-2}{a+1}$
为了进行相减，需要找到通分母，即$a(a+1)$。
$\frac{(a-1)(a+1) - a(a-2)}{a(a+1)}$
$= \frac{a^2 - 1 - a^2 + 2a}{a(a+1)}$
$= \frac{2a-1}{a(a+1)}$
再考虑分母部分：
$\frac{2a^2 - a}{a^2 + 2a + 1} = \frac{a(2a-1)}{(a+1)^2}$
将分子部分与分母部分相除，得到：
$\frac{2a-1}{a(a+1)} ÷ \frac{a(2a-1)}{(a+1)^2}$
$= \frac{2a-1}{a(a+1)} \cdot \frac{(a+1)^2}{a(2a-1)}$
$= \frac{a+1}{a^2}$
由于已知$a^2 - a - 1 = 0$，我们可以得到$a^2 = a + 1$。
代入上述化简后的式子，得到：
$\frac{a+1}{a+1} = 1$
【答案】：
1