《2025年通城学典暑期升级训练延边大学出版社八年级数学北师大版》

(五)拆、添项法
5. 阅读材料：
在对某些多项式分解因式时,需要恢复那些被合并或相互抵消的答案讲解项,即把多项式中的某一项拆成两项或多项,或者在多项式中添上两个仅符号相反的项,前者称为拆项,后者称为添项. 如：$x^{4}+4= (x^{4}+4x^{2}+4)-4x^{2}= (x^{2}+2)^{2}-(2x)^{2}= (x^{2}-2x+2)(x^{2}+2x+2)$.
仿照上述方法分解因式：
(1)$x^{4}+4y^{4}$；
(2)$a^{4}+a^{2}b^{2}+b^{4}$.

答案： 5.（1）x⁴+4y⁴=x⁴+4x²y²+4y⁴-4x²y²=(x²+2y²)²-(2xy)²=(x²+2y²+2xy)(x²+2y²-2xy).（2）a⁴+a²b²+b⁴=a⁴+2a²b²+b⁴-a²b²=(a²+b²)²-(ab)²=(a²+b²+ab)(a²+b²-ab).

(六)换元(整体)法
6. 整体思想 阅读材料：
分解因式：$(a+b)^{2}-2(a+b)+1$.
解：将“$a+b$”看成整体,设$M= a+b$,则原式$=M^{2}-2M+1= (M-1)^{2}$.
再将“$M$”还原,得原式$=(a+b-1)^{2}$.
上述解题方法用到的是“整体思想”,“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法,请你仿照上面的方法解答下列问题：
(1)分解因式：$(2a+b)^{2}-9a^{2}= $______；$(3a+2b)^{2}-(2a+3b)^{2}= $______.
(2)分解因式：$(x-y)^{2}+2(x-y)+1= $______；$(a+b)(a+b-4)+4= $______.
(3)求证：若$n$为正整数,则式子$(n+1)(n+2)(n^{2}+3n)+1$的值一定是某一个正整数的平方.

答案： 6.（1）(b-a)(5a+b);5(a+b)(a-b).（2）(x-y+1)²;(a+b-2)².（3）(n+1)(n+2)(n²+3n)+1=(n²+3n+2)(n²+3n)+1=(n²+3n)²+2(n²+3n)+1=(n²+3n+1)².
∵n为正整数，
∴式子(n+1)(n+2)(n²+3n)+1的值一定是正整数n²+3n+1的平方.

7. 利用因式分解计算：
(1)$55^{2}-45^{2}$；
(2)$99\frac{1}{4}×100\frac{3}{4}$；
(3)$87^{2}+87×26+13^{2}$；
(4)$(-3)^{101}+(-3)^{100}+3^{99}$.

答案： $7.（1）55²-45²=(55+45)×(55-45)=100×10=1000.（2）99\frac{1}{4}×100\frac{3}{4}=(100-\frac{3}{4})×(100+\frac{3}{4})=10000-\frac{9}{16}=9999\frac{7}{16}.（3）87²+87×26+13²=87²+2×87×13+13²=(87+13)²=100²=10000.（4）(-3)¹⁰¹+(-3)¹⁰⁰+3⁹⁹=-3¹⁰¹+3¹⁰⁰+3⁹⁹=3⁹⁹×(-3²+3+1)=-5×3⁹⁹.$