《2025年通城学典暑期升级训练延边大学出版社八年级数学北师大版》

16.(12分)如图,点A的坐标为(-1,5),点B的坐标为(3,3),点C的坐标为(5,3),点D的坐标为(3,-1).小明发现：线段AB与线段CD之间存在一种特殊关系,即其中一条线段绕着某点旋转一个角度后可以得到另一条线段,求这个旋转中心的坐标.
答案讲解

答案：
由点A(−1,5),B(3,3)可确定坐标原点O,从而建立平面直角坐标系.根据题意,对应点无法确定,因此应分情况考虑.①如图①，当点A的对应点为C时，连接AC,BD,分别作线段AC,BD的垂直平分线交于点E,点E的坐标为(1,1).②如图②,当点A的对应点为D时，连接AD,BC,分别作线段AD,BC的垂直平分线交于点M，点M的坐标为(4,4).综上所述，这个旋转中心的坐标为(1,1)或(4,4).方法点金判断网格中“旋转中心”的技巧判断网格中旋转中心的技巧有两个:一是旋转180°,旋转中心的坐标为对应点坐标的平均数;二是旋转任意角度,旋转中心为对应点连线的垂直平分线的交点.注意:若对应点无法确定,则应分情况考虑.　　　　　 　　　　　

17.(15分)(湘西中考)如图,在△ABC中,点D在边AB上,CB= CD,将边CA绕点C旋转到CE的位置,使得∠ECA= ∠DCB,连接DE与AC交于点F,且∠B= 70°,∠A= 10°.
(1)求证：AB= ED；
(2)求∠AFE的度数.

答案：
(1)
∵∠ECA=∠DCB,
∴∠ECA+∠ACD=∠DCB+∠ACD,即∠DCE=∠BCA.由旋转,可得CB=CD,CA=CE.在△BCA和△DCE中,∠BCA=∠DCE,CA=CE,CB=CD,
∴△BCA≌△DCE,
∴AB=ED.
(2)由
(1),得△BCA≌△DCE,
∴∠B=∠CDE=70°.
∵CB=CD,
∴∠B=∠CDB=70°.
∴∠EDA=180°−∠BDE=180°−70°×2=40°.
∴∠AFE=∠EDA+∠A=40°+10°=50°.

18.(15分)对于平面直角坐标系内的点,先将该点向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度,这种点的运动称为“点的斜平移”.如点P(2,3)经1次斜平移后的点的坐标为(3,5).已知点A的坐标为(1,0).
(1)分别写出点A经1次、2次斜平移后得到的点的坐标.
(2)如图,M是直线l上的一点,点A关于点M的对称点为B,点B关于直线l的对称点为C,连接AB,BC,AC.
① 若A,B,C三点不在同一条直线上,则△ABC是否为直角三角形？请说明理由.
② 若点B是由点A经n次斜平移后得到的,且点C的坐标为(7,6),求点B的坐标及n的值.
答案讲解

答案：

(1)点A(1,0)经1次斜平移后得到的点的坐标为(2,2)，点A(1,0)经2次斜平移后得到的点的坐标为(3,4).
(2)①△ABC为直角三角形.理由:如图①,连接CM.根据题意，得AM=BM,BM=CM,
∴AM=BM=CM.
∴　∠MAC=∠ACM,∠MBC=∠MCB.
∵∠MAC+∠ACM+∠MBC+∠MCB=180°,
∴2(∠ACM+∠MCB)=180°.
∴∠ACM+∠MCB=90°,即∠ACB=90°.
∴△ABC为直角三角形.②如图②,延长BC交x轴于点E,过点C作CF⊥AE于点F.
∵A(1,0),C(7,6),
∴AF=CF=6.
∴△ACF是等腰直角三角形.
∴∠CAF=45°.由①,得∠ACE=180°−90°=90°,
∴∠AEC=45°.
∴∠CAF=∠AEC.
∴AC=EC.又
∵CF⊥AE,
∴∠FCE=45°.
∴EF=CF=6.
∴点E的坐标为(13,0).设直线BE对应的函数表达式为y=kx+b.
∵点C(7,6),E(13,0)在直线BE上,
∴$\begin{cases}7k + b = 6\\13k + b = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -1\\b = 13\end{cases}$，
∴y=−x+13.
∵点B是由点A经n次斜平移后得到的，
∴点B的坐标为(n+1,2n).
∵点B在直线y=−x+13上,
∴2n=−(n+1)+13,解得n=4.
∴点B的坐标为(5,8).