《2025年时习之暑假衔接七年级数学北师大版》

1. 下列运算正确的是()
A.$(2a^{3}-2a^{2})÷(2a^{2})= a$
B.$a^{2}+a^{2}= a^{4}$
C.$(a + b)^{2}= a^{2}+b^{2}+2ab$
D.$(2a + 1)(2a - 1)= 2a^{2}-1$

答案： C

2. 若$ax^{2}+2x+\frac{1}{2}= (2x+\frac{1}{2})^{2}+m$,则$a$,$m$的值分别是()
A. 2,0
B. 4,0
C. 2,$\frac{1}{4}$
D. 4,$\frac{1}{4}$

答案： D

3. 已知有理数$a$,$b满足a + b = 2$,$a - b = 5$,则$(a + b)^{3}\cdot(a - b)^{3}$的值是____.

答案： 1000

4. 利用图中面积的等量关系可以得到某数学公式,例如,根据图甲,我们可以得到两数和的平方公式：$(a + b)^{2}= a^{2}+2ab + b^{2}$.根据图乙你能得到的数学公式是____.

答案： (a−b)²=a²+b²−2ab

5. 计算：
(1)$101^{2}$；
(2)$(a - 2)^{2}+4(a - 1)$；
(3)$(2x + 3y)^{2}-(2x - 3y)^{2}$.

答案： 解:
(1)原式=(100+1)²=100²+2×100×1+1²=10201.
(2)原式=a² - 4a+4+4a - 4=a².
(3)原式=4x²+12xy+9y²−4x²+12xy−9y²=24xy.

6. 先化简,再求值：
(1)$(1 + a)(1 - a)+(a - 2)^{2}$,其中$a= \frac{1}{2}$；
(2)$[(x^{2}+y^{2})-(x + y)^{2}+2x(x - y)]÷4x$,其中$x - 2y = 2$.

答案： 解:
(1)原式=−4a+5,当a=$\frac{1}{2}$时，原式=−4×$\frac{1}{2}$+5=3.
(2)原式=$\frac{1}{2}$(x−2y),把x−2y=2代入化简后的式子，得$\frac{1}{2}$×2=1.

填数游戏：如图,把数字1～9填入构成三角形状的9个圆圈中,使得各边上的四个数字的和都等于21,将每边四个数字的平方和分别记$A$,$B$,$C$,已知$A + B + C = 411$.如果位于这个三角形顶点处的三个圆圈填入的数字分别表示为$x$,$y$,$x + y$,求$xy$的值.

答案： 解:xy=18.