《2025年时习之暑假衔接七年级数学北师大版》

计算：
(1)$5a^{2}\cdot (3a^{3})^{2}$； (2)$(2x+1)(x-3)$； (3)$2025^{2}-2024×2026$；
(4)$(2x+3y)^{2}-(3y-2x)^{2}$； (5)$(a-2b-c)^{2}$； (6)$(x^{2}+x-3)(x^{2}-x+3)$．

答案： 解:
(1)原式$=45a^{8}$。
(2)原式$=2x^{2}-5x-3$。
(3)原式$=1$。
(4)原式$=24xy$。
(5)原式$=a^{2}-4ab+4b^{2}-2ac+4bc+c^{2}$。
(6)原式$=x^{4}-x^{2}+6x-9$。

例1 如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,$D为BC$上一点,且$CD= AC$,连接$AD$,且
$AD= BD$,求$∠BAC$的度数．
【导析】由已知条件发现有三个等腰三角形,所以有三对角相等,即$∠B= ∠C$,$∠B= ∠DAB$,$∠ADC= ∠DAC$,同时$∠ADC= 180^{\circ }-∠ADB= 180^{\circ }-[180^{\circ }-(∠B+∠BAD)]= ∠B+∠BAD$．只要设出这些角中的一个,利用三角形内角和定理就可以解决问题．

答案： 【解答】$\because AB= AC$,$\therefore ∠B= ∠C$．$\because BD= AD$,$\therefore ∠B= ∠DAB$．设$∠B= ∠C= ∠DAB= x$,则$∠CDA= 180^{\circ }-∠ADB= 180^{\circ }-(180^{\circ }-2x)= 2x$．$\because CD= CA$,$\therefore ∠CAD= ∠CDA= 2x$．在$\triangle ABC$中,$∠B+∠C+∠BAC= 180^{\circ }$,$\therefore x+x+x+2x= 180^{\circ }$,解得$x= 36^{\circ }$．$\therefore ∠BAC= x+2x= 108^{\circ }$．

1. 一个等腰三角形的三个内角度数之比为$1:1:3$,则这个等腰三角形的顶角的度数为______$^{\circ}$．

答案： 108