《2025年时习之暑假衔接七年级数学北师大版》

例2 如图,一只蚂蚁从长、宽都是30cm,高是80cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点,求它所爬行的最短路线的长。

答案：
【解答】蚂蚁实际上是在长方体的半个侧面内爬行,如果将这半个侧面展开,得到如图所示的
长方形ACBD,根据“两点之间线段最短”,所求的最短路线的长就是半个侧面展开图中长方形对角线AB的长。
在Rt△ABC中,AC= 30×2= 60(cm),所以$AB^2= AC^2+BC^2= 60^2+80^2= 100^2.$所以AB= 100cm.
答：它所爬行的最短路线的长是100cm.
方法归纳：本题主要考查两点之间线段最短及勾股定理,比较简单。

2.如图,将一根长为24cm的筷子,置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中,设筷子露出杯子外面的长为h cm,则h的取值范围是
______.

答案： $11≤h≤12$

1.如图,为了测得湖两岸A点和B点之间的距离,一个观测者在C点设桩,使∠ABC= 90°,并测得AC长20米,BC长16米,则A点和B点之间的距离为()

A.25米
B.12米
C.13米
D.26米

答案： B

2.“今有方池一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐。问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题。即如图,若AC= 5尺,DC= 1尺,BD= BA,则BC的长为()

A.8尺
B.10尺
C.12尺
D.13尺

答案： C

3.如图,一轮船以3海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行,另一轮船以4海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行,离开港口2小时后,此时两船相距()

A.25海里
B.10海里
C.35海里
D.40海里

答案： B

4.如图,正方体的边长为1,一只蚂蚁从正方体的一个顶点A爬行到另一个顶点B,则蚂蚁爬行的最短距离的平方是()

A.2
B.3
C.4
D.5

答案： D

5.如图,某人欲横渡一条河,由于水流的影响,实际上岸地点C偏离欲到达点B处200m,结果他在水中实际游了520m,则该河流的宽度为______m.

答案： 480

6.如图,四边形ABCD是长方形地面,长AB= 10dm,宽AD= 5dm,中间竖有一堵砖墙高MN= 1dm.一只蚂蚱从点A爬到点C,它必须翻过中间那堵墙,则它至少要走______dm.

答案：
13　点拨:如图所示，将图展开，图形长度增加2MN，原图长度增加2dm,则$AB=10+2=12(dm)$.连接AC,因为四边形ABCD是长方形,$AB=12dm$,$AD=5dm$,所以$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}=169$.所以$AC=13dm$.所以蚂蚱从点A爬到点C,它至少要走13dm的路程.