《2025年时习之暑假衔接七年级数学北师大版》

2. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,$D是BC$上一点,$∠BAD= 30^{\circ }$,$E是AC$上一点,且$AD= AE$,求$∠EDC$的度数．

答案： 解:因为$AB=AC$，所以设$∠B=∠C=x$。因为$AD=AE$，所以设$∠ADE=∠AED=y$，则$∠CED=180^{\circ}-y$。所以$∠EDC=180^{\circ}-x-(180^{\circ}-y)=y-x$。在$△ABD$中，因为$∠B=x$，$∠BAD=30^{\circ}$，所以$∠ADB=180^{\circ}-x-30^{\circ}$。所以$∠ADC=180^{\circ}-(180^{\circ}-x-30^{\circ})=x+30^{\circ}$，$∠EDC=x+30^{\circ}-y$。所以$x+30^{\circ}-y=y-x$。所以$2x-2y=-30^{\circ}$。所以$y-x=15^{\circ}$，即$∠EDC=15^{\circ}$。

例2 如图,在$\triangle ABC$中,$AB的垂直平分线交AC于点D$,已知$AC= 8$,$BC= 6$,求$\triangle BCD$的周长．

答案： 【导析】本题的思路是将线段进行转化,把三角形的周长转化为已知线段的和．【解答】$\because DE是线段AB$的垂直平分线,$\therefore AD= BD$．$\therefore \triangle BCD的周长为BD+CD+BC= AD+CD+BC= AC+BC$．$\because AC= 8$,$BC= 6$,$\therefore \triangle BCD的周长为8+6= 14$．

3. 如图,$\triangle ABC$是等腰三角形,底边$BC$的长为6,面积是30,腰$AC的垂直平分线EF分别交AC$,$AB于点E$,$F$．若点$D为BC$边的中点,点$M为线段EF$上一动点,则$\triangle CDM$周长的最小值是()

A. 11
B. 13
C. 18
D. 24

答案： B

4. 如图,$∠1= ∠2$,$CE⊥AB于点E$,若$AE= \frac {1}{2}(AD+AB)$,则$∠CBA+∠CDA= $______$^{\circ}$．

答案： 180　　点拨:过点C作AD的垂线交AD的延长线于点F。因为$CE⊥AB$，所以$∠AEC=90^{\circ}$。在$△ACF$与$△ACE$中，$\left\{\begin{array}{l} ∠1=∠2,\\ ∠AEC=∠AFC,\\ AC=AC,\end{array}\right.$所以$△ACF≌△ACE(AAS)$。所以$CF=CE$，$AF=AE$。因为$AE=\frac{1}{2}(AD+AB)$，所以$BE=DF$。在$△CDF$与$△CBE$中，$\left\{\begin{array}{l} CF=CE,\\ ∠CFD=∠CEB,\\ DF=BE,\end{array}\right.$所以$△CDF≌△CBE(SAS)$。所以$∠CBA=∠CDF$。因为$∠CDF+∠CDA=180^{\circ}$，所以$∠CBA+∠CDA=180^{\circ}$。

例3 已知一个等腰三角形的两内角的度数之比为$1:4$,则这个等腰三角形顶角的度数为()
A. $20^{\circ }$ B. $120^{\circ }$ C. $20^{\circ }或120^{\circ }$ D. $36^{\circ }$

答案： C

5. 等腰三角形的周长为16,其中一条边的长是6,则另两条边的长分别为______．

答案： 5,5或6,4

6. 已知等腰三角形的一个内角度数为$50^{\circ }$,则这个等腰三角形的顶角度数为()
A. $50^{\circ }$
B. $80^{\circ }$
C. $50^{\circ }或80^{\circ }$
D. $40^{\circ }或65^{\circ }$

答案： C

7. 若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为$50^{\circ }$,求该三角形底角的度数．

答案：
解:根据题意可画出图①和图②两种情形。如图①,因为$∠ADB=90^{\circ}$，$∠ABD=50^{\circ}$，所以$∠A=40^{\circ}$。所以$∠ABC=∠C=\frac{180^{\circ}-∠A}{2}=70^{\circ}$；如图②,因为$∠ABD=50^{\circ}$，$∠D=90^{\circ}$，所以$∠BAD=40^{\circ}$。所以$∠BAC=180^{\circ}-∠BAD=140^{\circ}$。因为$AB=AC$，所以$∠ABC=∠C=\frac{180^{\circ}-∠BAC}{2}=20^{\circ}$。所以该三角形一个底角的度数为$70^{\circ}$或$20^{\circ}$。