《2025年时习之暑假衔接七年级数学北师大版》

2. 在下列四组数中,不是勾股数的一组数是()
A.$a= 15$,$b= 8$,$c= 17$
B.$a= 9$,$b= 12$,$c= 15$
C.$a= 7$,$b= 24$,$c= 25$
D.$a= 0.3$,$b= 0.4$,$c= 0.5$

答案： D

3. 将直角三角形的三边扩大同样的倍数,得到的三角形是()
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.都有可能

答案： B

4. 三角形的三条边长分别为a,b,c,满足等式$(a+b)^{2}-c^{2}= 2ab$,则此三角形是()
A.锐角三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.钝角三角形

答案： C

5. 木工做一个长方形桌面,量得桌面的长为60cm,宽为32cm,对角线长为68cm,则这个桌面______(填“合格”或“不合格”)。

答案： 合格

6. 如图,以$\triangle ABC的两边BC$,$AC$分别向外作正方形,它们的面积分别是$S_{1}$,$S_{2}$。若$S_{1}= 2$,$S_{2}= 3$,$AB^{2}= 5$,则$\triangle ABC$的形状是______三角形。

答案： 直角

7. 如图,有一块四边形花圃$ABCD$,$\angle ADC= 90^{\circ}$,$AD= 4m$,$AB= 13m$,$BC= 12m$,$DC= 3m$,该花圃的面积为______$m^{2}$。

答案： 24　点拨:连接AC,可知AC²=AD2+CD²=3²+4²=25,故AC=5m.因为AC2+BC²=AB2,所以△ABC为直角三角形.所以该花圃的面积S=S△ABC一SACD=$\frac{1}{2}$AC.BC−$\frac{1}{2}$AD.CD=24(m²).

8. 如图,在四边形$ABCD$中,$\angle A= \angle D= 90^{\circ}$,$AB= CD= 24$,$AD= BC= 50$,E是$AD$上一点,且$AE:ED= 9:16$,试猜想$\angle BEC$是锐角、钝角还是直角,并证明你的猜想。

答案： 解:∠BEC是直角.理由如下:因为AE:ED=9:16,所以设AE=9x,ED=16x,则有9x+16x=50,解得x=2.所以AE=9x=18,ED=16x=32.因为在Rt△BAE中，BCDE²²=+ADBE²²+=2A4E²+²=322²4=²+160180².在=△90B0E，C在中Rt，△因C为DBEE中²，+CCEE²²==900+1600=2500=BC2，所以△BEC是直角三角形.所以∠BEC是直角.

9. 观察下列等式。
第1个等式：$(2^{2}-1)^{2}+4^{2}= 5^{2}$；
第2个等式：$(3^{2}-1)^{2}+6^{2}= 10^{2}$；
第3个等式：$(4^{2}-1)^{2}+8^{2}= 17^{2}$；
第4个等式：$(5^{2}-1)^{2}+10^{2}= 26^{2}$。
……
(1)请用含n(n为正整数,且$n＞1$)的等式表示上面的规律,并说明其正确性；
(2)若三个整数能构成直角三角形的三条边长,则称这三个数为勾股数(例如,3,4,5)。现有一个一条直角边长为35的直角三角形,它的三边长能否为勾股数？若能,请利用(1)中得出的等式算出这组勾股数；若不能,请说明理由。

答案： 解:
(1)由题中等式的规律可得(n²−1)²+(2n)²=(n²+1)².理由:左边=n²−2n²+1+4n²=n4+2n²+1=(n²+1)²=右边.　
(2)它的三边长能为勾股数，因为35=36−1=62$\frac{1}{+}$1,把n=6 代人,得(62−1)²+(2×6)²=(6²+1)²,即352　　12²=37²,所以它的三边长能为勾股数，这组勾股数为12，35，37.