《2025年时习之暑假衔接七年级数学北师大版》

1. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC= 3$,$∠B= ∠C= 42^{\circ }$,点D在线段BC上运动(点D不与点B,C重合),连接AD,作$∠ADE= 42^{\circ }$,DE交线段AC于点E．
(1)当$∠BDA= 118^{\circ }$时,$∠EDC= $______°,$∠AED= $______°；
(2)若$DC= 3$,试说明$\triangle ABD≌\triangle DCE$．

答案： 解:
(1)20　62
(2)因为∠C=42°,所以∠DEC+∠EDC=138又因为∠ADE=
42°,所以∠ADB+∠EDC=138.所以∠ADB=∠DEC.在∠ADB=∠DEC,
　△ABD和△DCE中，　∠B=∠C,　　　　所以△ABD≌
AB=DC=3,
　　　　　　　　　　{
　△DCE(AAS).

2. 如图①,在$\triangle ABC$中,$∠BAC= 90^{\circ }$,$AB= AC$,AE是过点A的一条直线,且点B,C在AE的异侧,$BD⊥AE$于点D,$CE⊥AE$于点E．
(1)求说明：$BD= DE+CE$；
(2)若直线AE绕A点旋转到图②的位置($BD\lt CE$),其余条件不变,则BD与DE,CE的关系如何？请说明理由．

答案： 解:
(1)因为BD⊥AE于点D,CE⊥AE于点E,所以∠ADB=
　∠AEC=90°.因为∠BAC=90°,∠ADB=90°,所以∠ABD+∠BAD=∠CAD+∠BAD=90°.所以∠ABD=∠CAE.在△ABD和△CAE中,∠ABD=∠CAE,∠ADB=∠CEA,
AB=CA,所以△ABD≌△CAE(AAS).所以BD=AE,AD=
CE.因为AE=DE+AD,所以BD=DE+CE.
(2)BD=DE−CE.理由如下:因为BD⊥DE于点D,CE⊥AE 于点E,所以∠DAB+∠DBA=90.因为∠BAC=90°,所以∠DAB+∠CAE=90°.所以∠DBA=∠EAC.在△DBA 和△EAC中,∠ADB=∠CEA=90°,∠DBA=∠EAC,AB=
AC,所以△DBA≌△EAC(AAS).所以BD=AE,AD=CE.所以BD=AE=DE−AD=DE−CE.

3. 如图,AE与BD相交于点C,$AC= EC$,$BC= DC$,$AB= 4cm$,点P从点A出发,沿$A→B→A方向以2cm/s$的速度运动,点Q从点D出发,沿$D→E方向以1cm/s$的速度运动,P,Q两点同时出发,当点P到达点A时,P,Q两点同时停止运动,设点P的运动时间为$ts$．
(1)当$t= 3$时,线段DQ的长度为______cm,线段AP的长度为______cm；
(2)试说明：$AB// DE$；
(3)连接PQ,当线段PQ经过点C时,直接写出t的值；
(4)连接PE,EB,当$\triangle APE的面积等于\triangle ABE$面积的一半时,直接写出所有满足条件的t值．

答案： 解:
(1)3　2
AC=EC,
(2)在△ACB和△ECD中，{∠ACB=∠ECD,所以△ACB≌
BC=DC,
　△ECD(SAS).所以∠A=∠E.所以AB//DE.
(3)t的值为$\frac{4}{3}$或4.
(4)t的值为1或3.