《2025年时习之暑假衔接七年级数学北师大版》

例2 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,AD平分$\angle CAB$交BC于点D,$BE\perp AD$交AD的延长
线于点E。若$\angle DBE = 25^{\circ}$,则$\angle ABC= $______$^{\circ}$。

答案： 【答案】40

3. 如图,$\angle\alpha$的度数是()

A. $10^{\circ}$
B. $20^{\circ}$
C. $30^{\circ}$
D. $40^{\circ}$

答案： A

4. 如图,BP平分$\angle ABC$交CD于点F,DP平分$\angle ADC$交AB于点E,若$\angle A = 45^{\circ}$,$\angle P = 40^{\circ}$,则$\angle C$的度数为()

A. $30^{\circ}$
B. $35^{\circ}$
C. $40^{\circ}$
D. $45^{\circ}$

答案： B

例3 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle B = 30^{\circ}$,$\angle C = 70^{\circ}$,AD和AE分别是它的高和角平分线,求$\angle DAE$的度数。

答案： 【解答】在$\triangle ABC$中,因为$\angle BAC+\angle B+\angle C = 180^{\circ}$,$\angle B = 30^{\circ}$,$\angle C = 70^{\circ}$,所以$\angle BAC = 180^{\circ}-30^{\circ}-70^{\circ}=80^{\circ}$。因为AE是$\triangle ABC$的角平分线,所以$\angle BAE= \frac{1}{2}\angle BAC = 40^{\circ}$。因为AD是$\triangle ABC$的高,所以$\angle ADB = 90^{\circ}$。所以$\angle BAD = 90^{\circ}-\angle B = 90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$。所以$\angle DAE = 60^{\circ}-40^{\circ}=20^{\circ}$。

5. 如图,在$\triangle ABC$中,$AD\perp BC$,AE平分$\angle BAC$,若$\angle 1 = 40^{\circ}$,$\angle 2 = 25^{\circ}$,则$\angle B$的度
数为()
A. $25^{\circ}$
B. $35^{\circ}$
C. $45^{\circ}$
D. $55^{\circ}$

答案： B

6. 如图①,AD平分$\angle BAC$,$AE\perp BC$,$\angle B = 38^{\circ}$,$\angle C = 64^{\circ}$。
(1) 求$\angle DAE$的度数；
(2) 如图②,若把“$AE\perp BC$”变成“点F在DA的延长线上,$FE\perp BC$”,$\angle B= \alpha$,$\angle C= \beta$($\alpha＜\beta$),请用$\alpha$,$\beta的代数式表示\angle DFE$。

答案： 解:
(1)因为$\angle B = 38^{\circ}$，$\angle C = 64^{\circ}$，所以$\angle BAC = 78^{\circ}$。因为AD平分$\angle BAC$，所以$\angle BAD = \angle CAD = 39^{\circ}$。所以$\angle ADB = 180^{\circ}-\angle B - \angle BAD = 103^{\circ}$，$\angle ADE = 180^{\circ}-\angle ADB = 77^{\circ}$。因为$AE\perp BC$，所以$\angle AEB = 90^{\circ}$。所以$\angle DAE = 90^{\circ}-\angle ADE = 13^{\circ}$。
(2)因为$\angle B = \alpha$，$\angle C = \beta$，所以$\angle BAC = 180^{\circ}-\alpha - \beta$。因为AD平分$\angle BAC$，所以$\angle BAD = \angle CAD = 90^{\circ}-\frac{1}{2}(\alpha + \beta)$。所以在$\triangle ABD$中，$\angle ADB = 180^{\circ}-\angle B - \angle BAD = 90^{\circ}-\frac{1}{2}(\alpha - \beta)$。所以$\angle ADE = 180^{\circ}-\angle ADB = 90^{\circ}+\frac{1}{2}(\alpha - \beta)$。因为$FE\perp BC$，所以$\angle FEB = 90^{\circ}$。所以$\angle DFE = 90^{\circ}-\angle ADE = \frac{1}{2}(\beta - \alpha)$。