《2025年时习之暑假衔接七年级数学北师大版》

6.如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,点$D是BC$边的中点,$DE$,$DF分别垂直AB$,$AC于点E和F$．试说明：$DE= DF$．

答案： 解:在△ABC中,因为AB=AC,所以∠B=∠C.因为点D是BC边的中点，所以BD=DC.因为DE，DF分别垂直AB,AC于点E和F,所以∠BED=∠CFD=90°.在△BED和△CFD中，因为{∠BED = ∠CFD, ∠B = ∠C, BD = CD}，所以△BED≌△CFD(AAS).所以DE=DF.

核心考点2：线段垂直平分线的性质与作法
7.如图,$AC= AD$,$BC= BD$,则有 ()

A.$AB垂直平分CD$
B.$CD垂直平分AB$
C.$AB与CD$互相垂直平分
D.$CD平分∠ACB$

答案： A

8.如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,$∠A= 40^{\circ }$,$AB的垂直平分线交AB于点D$,交$AC于点E$,连接$BE$,则$∠CBE$的度数为 ()

A.$70^{\circ }$
B.$80^{\circ }$
C.$40^{\circ }$
D.$30^{\circ }$

答案： D

9.如图,已知直线$MN是线段AB$的垂直平分线,垂足为$D$,点$P是MN$上一点．若$AB= 10cm$,则$BD= $____$cm$；若$PA= 10cm$,则$PB= $____$cm$．

答案： 5

10.如图,在$\triangle ABC$中,$DE是AC$的垂直平分线,$AE= 6cm$,$\triangle ABD的周长为26cm$,则$\triangle ABC$的周长为____$cm$．

答案： 38

11.如图,在$\triangle ABC$中,$∠C= 90^{\circ }$,$∠A= 30^{\circ }$．
(1)用直尺和圆规,作$AB边上的垂直平分线DE$,交$AC于点D$,交$AB于点E$(保留作图痕迹,不写作法)；
(2)连接$BD$,求$∠CBD$的度数．

答案：
解:
(1)如图所示.
　　　　　　　　　
(2)连接BD.因为DE为AB的垂直平分线，所以AD=BD.所以∠A=∠ABD=30°.因为∠ABC=90°−∠A=60°,所以∠CBD=∠ABC−∠ABD=60°−30°=30°.

核心考点3：角平分线的性质与作法
12.如图,在$\triangle ABC$中,$∠C= 90^{\circ }$,$AC= BC$,$AD平分∠BAC交BC于点D$,$DE⊥AB于E$,$AB= 10$,则$\triangle DEB$的周长为 ()

A.$5$
B.$7.5$
C.$10$
D.$15$

答案： C

13.如图,若$AB// CD$,$AP$,$CP分别平分∠BAC和∠ACD$,$PE⊥AC于E$,且$PE= 3cm$,则$AB与CD$之间的距离为 ()

A.$3cm$
B.$6cm$
C.$9cm$
D.无法确定

答案： B

14.如图,$AD是\triangle ABC$的角平分线,$DE$,$DF分别是\triangle ABD和\triangle ACD$的高,$AC= 7$,$AB= 8$,$\triangle ACD的面积是21$,则$\triangle ABC$的面积是____．

答案： 45

15.如图,有两个班的学生在$M$,$N$处参加义务劳动,现要在道路$AB$,$AC的交叉区域内设置一个冷饮点P$,使$P$到两条道路的距离相等,且使$PM= PN$,请你找出点$P$,保留作图痕迹．

答案： 【解析】：
1. 作$\angle BAC$的平分线$AD$：
以$A$为圆心，任意长为半径画弧，分别交$AB$、$AC$于两点。
再分别以这两点为圆心，大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧交于一点。
过$A$与该交点作射线$AD$，则$AD$上的点到$AB$和$AC$的距离相等。
2. 作线段$MN$的垂直平分线$EF$：
分别以$M$、$N$为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长度为半径画弧（两弧半径相等），两弧分别交于两点。
过这两点作直线$EF$，则$EF$上的点到$M$、$N$的距离相等。
3. 射线$AD$与直线$EF$的交点$P$即为所求。
【答案】：作出$\angle BAC$的平分线$AD$和线段$MN$的垂直平分线$EF$，$AD$与$EF$的交点$P$就是要找的冷饮点（作图痕迹略）。