《2025年教材课本高中数学选择性必修第一册人教B版》

5.求下列过点$P$且与直线$l$垂直的直线的方程：
(1)$P(4, - 3)$，$l$：$x + 5y - 3 = 0$； (2)$P(3, - 5)$，$l$：$x + y = 0$；
(3)$P(2, 3)$，$l$：$x + y - 2 = 0$.

答案：
(1)依题意，可设直线方程为$5x - y + c = 0$，把$(4,-3)$代入，得$5×4 - (-3) + c = 0$，解得$c = -23$，所以直线方程为$5x - y - 23 = 0$。
(2)依题意，可设直线方程为$x - y + c = 0$，把$(3,-5)$代入，得$3 - (-5) + c = 0$，解得$c = -8$，所以直线方程为$x - y - 8 = 0$。
(3)依题意，可设直线$x - y + c = 0$，把$(2,3)$代入，得$2 - 3 + c = 0$，解得$c = 1$，所以直线方程为$x - y + 1 = 0$。

1.已知直线$2x + y - 8 = 0$与直线$3x + (1 - a)y + 3 = 0$平行，求$a$的值.

答案： 依题意，得$2(1 - a) = 1×3$，且$1×3≠ - 8×(1 - a)$，解得$a = -\frac{1}{2}$。

2.方程$2x + y + a = 0$在$a$取不同实数时，对应不同的直线，这些不同的直线的位置关系如何？在平面直角坐标系中，分别作出$a = 0$，$1$，$2$时方程表示的直线.

答案：
$a$取不同实数时，对应的直线相互平行。作图如图D1所示。

3.已知直线$2x + ay - 1 = 0$与$x + 4y - 2 = 0$的交点在第一象限，求$a$的取值范围.

答案： 联立两直线方程，有$\begin{cases}2x + ay - 1 = 0\\x + 4y - 2 = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = \frac{4 - 2a}{8 - a}\\y = \frac{3}{8 - a}\end{cases}$，所以交点坐标为$(\frac{4 - 2a}{8 - a},\frac{3}{8 - a})$。因为交点在第一象限，所以$\begin{cases}\frac{4 - 2a}{8 - a} ＞ 0\\\frac{3}{8 - a} ＞ 0\end{cases}$，解得$a ＜ 2$，即$a$的取值范围为$(-\infty,2)$。

4.求经过$2x + y - 8 = 0$与$x - 2y + 1 = 0$的交点，且平行于直线$4x - 3y - 7 = 0$的直线的方程.

答案： 联立两直线方程，有$\begin{cases}2x + y - 8 = 0\\x - 2y + 1 = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 3\\y = 2\end{cases}$。设平行于$4x - 3y - 7 = 0$的直线方程为$4x - 3y + c = 0$，把$(3,2)$代入$4x - 3y + c = 0$，得$4×3 - 3×2 + c = 0$，解得$c = -6$，故所求直线方程为$4x - 3y - 6 = 0$。

5.已知直线$ax + 2y - 1 = 0$与直线$2x - 3y + 5 = 0$垂直，求$a$的值.

答案： 依题意，可得$2a + 2×(-3) = 0$，解得$a = 3$。

6.已知$A( - 1, 2)$，$B(3, - 2)$，$C(1, 5)$，求过点$C$且与直线$AB$垂直的直线的方程.

答案： 直线$AB$的斜率$k = \frac{-2 - 2}{3 - (-1)} = -1$，所以所求直线的斜率为$1$，则过点$C$且与直线$AB$垂直的直线方程为$y - 5 = 1×(x - 1)$，整理得$y = x + 4$。