《2025年教材课本高中数学选择性必修第一册人教B版》

2. 若$\boldsymbol{a}=(2x,1,3)$，$\boldsymbol{b}=(1,-2y,9)$，且$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$共线，求$x$，$y$的值.

答案： 因为$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$共线,则可设$\boldsymbol{a}=\lambda\boldsymbol{b}$,
即$(2x,1,3)=\lambda(1,-2y,9)=(\lambda,-2\lambda y,9\lambda)$,
则$\begin{cases}2x=\lambda\\1=-2\lambda y\\3 = 9\lambda\end{cases}$,解得$\begin{cases}\lambda=\frac{1}{3}\\x=\frac{1}{6}\\y=-\frac{3}{2}\end{cases}$.

3. 已知空间三点$A(1,1,1)$，$B(-1,0,4)$，$C(2,-2,3)$，求$\langle\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CA}\rangle$.

答案： 由题意得,$\overrightarrow{AB}=(-2,-1,3)$,$\overrightarrow{CA}=(-1,3,-2)$,
则$\cos\langle\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CA}\rangle=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CA}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{CA}|}=\frac{-7}{\sqrt{14}\times\sqrt{14}}=-\frac{1}{2}$,因此$\langle\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CA}\rangle = 120^{\circ}$.

4. 已知点$A(1,2,1)$，$B(-1,3,4)$，$D(1,1,1)$，若$\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{PB}$，求$|\overrightarrow{PD}|$.

答案： 设$P(x,y,z)$,由$\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{PB}$,得$(x - 1,y - 2,z - 1)=2(-1 - x,3 - y,4 - z)$,
则$\begin{cases}x - 1=2(-1 - x)\\y - 2=2(3 - y)\\z - 1=2(4 - z)\end{cases}$, 解得$\begin{cases}x=-\frac{1}{3}\\y=\frac{8}{3}\\z = 3\end{cases}$.
$\therefore P(-\frac{1}{3},\frac{8}{3},3)$,则$\overrightarrow{PD}=(\frac{4}{3},-\frac{5}{3},-2)$,
$\therefore|\overrightarrow{PD}|=\sqrt{(\frac{4}{3})^{2}+(-\frac{5}{3})^{2}+(-2)^{2}}=\frac{\sqrt{77}}{3}$.

5. 在空间直角坐标系中，分别求点$P(-2,1,4)$关于$x$轴、$xOy$平面、坐标原点对称的点的坐标.

答案： 点$P(-2,1,4)$关于$x$轴对称的点的坐标为$(-2,-1,-4)$;
点$P(-2,1,4)$关于$xOy$平面对称的点的坐标为$(-2,1,-4)$;
点$P(-2,1,4)$关于坐标原点对称的点的坐标为$(2,-1,-4)$.

6. 已知$A(-1,0,1)$，$B(2,4,3)$，$C(5,8,5)$，则这三点（ ）.
(A) 构成等腰三角形
(B) 构成直角三角形
(C) 构成等腰直角三角形
(D) 不能构成三角形

答案： D 由题意知,$|AB|=\sqrt{3^{2}+4^{2}+2^{2}}=\sqrt{29}$,
$|BC|=\sqrt{3^{2}+4^{2}+2^{2}}=\sqrt{29}$,
$|AC|=\sqrt{6^{2}+8^{2}+4^{2}}=2\sqrt{29}$,所以$|AB|+|BC|=2|AC|$,所以$A$,$B$,$C$三点不能构成三角形.

7. 求到点$A(2,3,0)$，$B(5,1,0)$距离相等的点的坐标$(x,y,z)$满足的条件.

答案： 由题意得,$(x - 2)^{2}+(y - 3)^{2}+(z - 0)^{2}=(x - 5)^{2}+(y - 1)^{2}+(z - 0)^{2}$,即$x^{2}-4x + 4+y^{2}-6y + 9+z^{2}=x^{2}-10x + 25+y^{2}-2y + 1+z^{2}$,化简得$6x - 4y-13 = 0$.

8. 已知$A(1,-2,1)$，$B(2,2,2)$，点$P$在$z$轴上，且$PA = PB$，求点$P$的坐标.

答案： 设$P(0,0,m)$,$\because PA = PB$,$\therefore1^{2}+(-2)^{2}+(1 - m)^{2}=2^{2}+2^{2}+(2 - m)^{2}$,解得$m = 3$,即点$P$的坐标为$(0,0,3)$.

9. 已知$A(0,0,0)$，$B(2,5,0)$，$C(1,3,5)$，求$\overrightarrow{AC}$在$\overrightarrow{AB}$上投影的数量.

答案： 由题得,$\overrightarrow{AC}=(1,3,5)$,$\overrightarrow{AB}=(2,5,0)$,则$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{2^{2}+5^{2}+0^{2}}=\sqrt{29}$,$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=1\times2 + 3\times5 = 17$.
所以$\overrightarrow{AC}$在$\overrightarrow{AB}$上投影的数量为$|\overrightarrow{AC}|\cdot\cos\langle\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}\rangle=|\overrightarrow{AC}|\cdot\frac{\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{AB}|}=\frac{\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}=\frac{17\sqrt{29}}{29}$.

10. 已知$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$是正方体，求平面$AB_{1}C$的一个法向量.

答案： 在正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中,连接$BA_{1}$,$BD_{1}$.
$\because A_{1}D_{1}\perp B_{1}A$,$BA_{1}\perp B_{1}A$,$BA_{1}\cap A_{1}D_{1}=A_{1}$,$\therefore B_{1}A\perp$平面$BD_{1}A_{1}$,
又$BD_{1}\subset$平面$BD_{1}A_{1}$,$\therefore B_{1}A\perp BD_{1}$.
同理$BD_{1}\perp B_{1}C$,又$B_{1}A\subset$平面$AB_{1}C$,$B_{1}C\subset$平面$AB_{1}C$,$B_{1}A\cap B_{1}C = B_{1}$,$\therefore BD_{1}\perp$平面$AB_{1}C$.
故$\overrightarrow{BD_{1}}$(或$\overrightarrow{D_{1}B}$)是平面$AB_{1}C$的一个法向量.

11. 空间中到一个三角形的三个顶点距离相等的点组成的集合是什么图形?

答案： 经过这个三角形三边垂直平分线的交点,且与三角形所在平面垂直的一条直线.

12. 如图所示，已知$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$是正方体，$E$，$F$分别是棱$AB$，$CC_{1}$的中点，求直线$EF$与$BD_{1}$所成角的余弦值.

答案：
如图D1,以$D$为坐标原点,分别以$\overrightarrow{DA}$,$\overrightarrow{DC}$,$\overrightarrow{DD_{1}}$的方向为$x$轴、$y$轴、$z$轴的正方向建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为$2$,则$E(2,1,0)$,$F(0,2,1)$,$B(2,2,0)$,$D_{1}(0,0,2)$,所以$\overrightarrow{EF}=(-2,1,1)$,$\overrightarrow{BD_{1}}=(-2,-2,2)$,
所以$\cos\langle\overrightarrow{EF},\overrightarrow{BD_{1}}\rangle=\frac{\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{BD_{1}}}{|\overrightarrow{EF}||\overrightarrow{BD_{1}}|}=\frac{4}{\sqrt{6}\times2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{3}$.
因此直线$EF$与$BD_{1}$所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{2}}{3}$.