《2025年教材课本高中数学选择性必修第一册人教B版》

例5
　　已知棱长为1的正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$E$是$CC_{1}$的中点，$F$是$A_{1}B_{1}$的中点.以$D$为原点，$\overrightarrow{DA}$，$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{DD_{1}}$的方向分别为$x$轴、$y$轴、$z$轴正方向，建立如图1−1−25所示的空间直角坐标系.求以下各点的坐标:$A$，$B$，$B_{1}$，$E$，$F$.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： 注意到正方体的棱长为1，因此$A(1,0,0)$，$B(1,1,0)$，$B_{1}(1,1,1)$.　　　
　因为$E$，$F$分别是$CC_{1}$，$A_{1}B_{1}$的中点，所以$E(0,1,\frac{1}{2})$，$F(1,\frac{1}{2},1)$.　　
可以看出，在空间中建立了空间直角坐标系之后，如果指定空间中的单位向量$\boldsymbol{e}_{1}$，$\boldsymbol{e}_{2}$，$\boldsymbol{e}_{3}$的始点都在原点$O$，且它们的方向分别与$x$轴、$y$轴、$z$轴的正方向相同，则$\{\boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2},\boldsymbol{e}_{3}\}$是单位正交基底，且向量$\overrightarrow{OP}$的坐标与$P$点的坐标相同，
即$\overrightarrow{OP}=x\boldsymbol{e}_{1}+y\boldsymbol{e}_{2}+z\boldsymbol{e}_{3}=(x,y,z)\Leftrightarrow P(x,y,z)$；
反之，如果$\{\boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2},\boldsymbol{e}_{3}\}$为单位正交基底，则任意选定一点作为原点$O$，并使得$x$轴、$y$轴、$z$轴的正方向分别与$\boldsymbol{e}_{1}$，$\boldsymbol{e}_{2}$，$\boldsymbol{e}_{3}$的方向相同，则可以建立空间直角坐标系，而且其中向量$\overrightarrow{OP}$的坐标与$P$点的坐标仍然相同.