《2025年教材课本高中数学选择性必修第一册人教B版》

例2 判断下列方程是否是圆的方程，如果是，写出圆的圆心坐标与半径；如果不是，说明理由：
（1）$x^2 + y^2 + 4x - 6y - 12 = 0$； （2）$4x^2 + 4y^2 - 8x + 4y - 15 = 0$；
（3）$x^2 + y^2 - 6x + 10 = 0$.

答案： （1）原方程可以化为
$x^2 + 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 = 25$，
即$(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 25$，所以是圆心坐标为(-2，3)，半径为5的圆的方程.
（2）方程两边除以4，得$x^2 + y^2 - 2x + y - \frac{15}{4} = 0$. 将左边配方，得
$(x - 1)^2 + (y + \frac{1}{2})^2 = 5$，所以是圆心坐标为$(1, -\frac{1}{2})$，半径为$\sqrt{5}$的圆的方程.
（3）因为原方程可以化为$x^2 - 6x + 9 + y^2 = -1$，即
$(x - 3)^2 + y^2 = -1$，又因为满足上述方程的实数$x$，$y$不存在，所以原方程不是圆的方程.

1. 写出下列圆的圆心坐标和半径：
（1）$x^2 + y^2 - 6x = 0$； （2）$2x^2 + 2y^2 - 4x + 8y + 5 = 0$.

答案：
(1)把圆的一般方程化为标准方程，为$(x - 3)^2 + y^2 = 9$，所以圆心坐标为$(3,0)$，半径$r = 3$。
(2)把圆的一般方程化为标准方程，为$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = \frac{5}{2}$，所以圆心坐标为$(1,-2)$，半径$r = \frac{\sqrt{10}}{2}$。

2. 判断下列方程是否是圆的方程，如果是，写出圆的圆心坐标与半径；如果不是，说明理由：
（1）$x^2 + y^2 = 0$； （2）$x^2 + y^2 - 2x + 4y - 6 = 0$；
（3）$x^2 + y^2 - 2x - 2y - 3 = 0$.

答案：
(1)$x^2 + y^2 = 0$，则$x = 0,y = 0$，表示点$(0,0)$，不表示圆。
(2)原方程可化为$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 11$，所以是圆的方程，圆心坐标为$(1,-2)$，半径为$\sqrt{11}$。
(3)原方程可化为$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 5$，所以是圆的方程，圆心坐标为$(1,1)$，半径为$\sqrt{5}$。

3. 判断点$A(0, 0)$，$B(-1, 5)$，$C(1, -2)$与圆$x^2 + y^2 + 2x - 4y - 4 = 0$的位置关系.

答案： 圆的方程可化为$(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 9$，所以可记圆心$O(-1,2)$，半径$r = 3$。
因为$\vert AO\vert=\sqrt{(-1 - 0)^2+(2 - 0)^2}=\sqrt{5}＜r$，所以点$A$在圆内；
因为$\vert BO\vert=\sqrt{[-1-(-1)]^2+(5 - 2)^2}=3 = r$，所以点$B$在圆上；
因为$\vert CO\vert=\sqrt{[1-(-1)]^2+(-2 - 2)^2}=2\sqrt{5}＞r$，所以点$C$在圆外。