《2025年教材课本高中数学选择性必修第一册人教B版》

3 已知$A(-1,3)$，$B(3,3)$，$C(1,2\sqrt{3}+3)$，证明$\triangle ABC$是等边三角形.

答案： 由已知可得 $|AB|=\sqrt{(-1 - 3)^2+(3 - 3)^2}=4$，
$|BC|=\sqrt{(3 - 1)^2+[3-(2\sqrt{3}+3)]^2}=4$，
$|AC|=\sqrt{(-1 - 1)^2+[3-(2\sqrt{3}+3)]^2}=4$.
因为 $|AB| = |BC| = |AC| = 4$，所以 $\triangle ABC$ 是等边三角形.

4 已知$\triangle ABC$的三个顶点分别为$A(2,1)$，$B(-2,3)$，$C(0,-1)$，求$\triangle ABC$三条中线的长.

答案： 分别设 $AB,BC,AC$ 的中点为 $M(x_1,y_1),N(x_2,y_2),P(x_3,y_3)$，
则 $x_1=\frac{2+(-2)}{2}=0$，$y_1=\frac{1 + 3}{2}=2$，即 $M(0,2)$；
$x_2=\frac{-2 + 0}{2}=-1$，$y_2=\frac{3+(-1)}{2}=1$，即 $N(-1,1)$；
$x_3=\frac{2 + 0}{2}=1$，$y_3=\frac{1+(-1)}{2}=0$，即 $P(1,0)$.
$\therefore|CM|=\sqrt{(0 - 0)^2+(-1 - 2)^2}=3$，
$|AN|=\sqrt{(-1 - 2)^2+(1 - 1)^2}=3$，
$|BP|=\sqrt{(-2 - 1)^2+(3 - 0)^2}=3\sqrt{2}$.
故 $AB$ 边上的中线长为 $3$，$BC$ 边上的中线长为 $3$，$AC$ 边上的中线长为 $3\sqrt{2}$.

5 已知数轴上$A(-1)$，$B(2)$，且A关于B的对称点为C，求C的坐标.

答案： 设 $C$ 的坐标为 $x$. $\because$ 点 $C$ 与点 $A$ 关于点 $B$ 对称，$\therefore\frac{-1 + x}{2}=2$，解得 $x = 5$. $\therefore C$ 的坐标为 $5$.

1 已知数轴上的点P到$A(-9)$的距离是它到$B(-3)$的距离的2倍，求点P的坐标.

答案： 设 $P$ 的坐标为 $x$，$\therefore|x-(-9)| = 2|x-(-3)|$，解得 $x=-5$ 或 $x = 3$，$\therefore P$ 的坐标为 $-5$ 或 $3$.

2 已知$A(a,0)$，$B(0,10)$，且$|AB| = 17$，求a的值.

答案： 由已知可得 $|AB|=\sqrt{(a - 0)^2+(0 - 10)^2}=17$，解得 $a = 3\sqrt{21}$ 或 $a=-3\sqrt{21}$. 故 $a$ 的值为 $\pm3\sqrt{21}$.

3 已知$A(3,1)$，$B(-2,2)$，在y轴上的点P满足$PA\perp PB$，求P的坐标.

答案： 设 $P(0,b)$，$\because PA\perp PB$，$\therefore\overrightarrow{PA}\perp\overrightarrow{PB}$，$\therefore\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=0$.
又 $\overrightarrow{PA}=(3,1 - b)$，$\overrightarrow{PB}=(-2,2 - b)$，$\therefore3\times(-2)+(1 - b)(2 - b)=0$，解得 $b=-1$ 或 $b = 4$. $\therefore P$ 的坐标为 $(0,-1)$ 或 $(0,4)$.

4 已知ABCD是一个长方形，且M是ABCD所在平面上任意一个点，求证：$AM^2 + CM^2 = BM^2 + DM^2$.

答案：
如图 D1，以 $AB$ 的中点为坐标原点 $O$，$AB$ 所在直线为 $x$ 轴，过 $O$ 点且垂直于 $AB$ 的直线为 $y$ 轴建立平面直角坐标系 $xOy$，设 $A(-a,0)$，$B(a,0)$，$C(a,b)$，$D(-a,b)$，$M(m,n)$.
$\therefore|AM|^2=[m-(-a)]^2+(n - 0)^2=m^2+2am+a^2+n^2$，
$|BM|^2=(m - a)^2+(n - 0)^2=m^2-2am+a^2+n^2$，
$|CM|^2=(m - a)^2+(n - b)^2=m^2-2am+a^2+n^2-2bn+b^2$，
$|DM|^2=[m-(-a)]^2+(n - b)^2=m^2+2am+a^2+n^2-2bn+b^2$，
$\therefore|AM|^2+|CM|^2=2m^2+2a^2+2n^2-2bn+b^2$，
$|BM|^2+|DM|^2=2m^2+2a^2+2n^2-2bn+b^2$，
$\therefore|AM|^2+|CM|^2=|BM|^2+|DM|^2$.

5 已知函数$y = f(x)$的图象与函数$y = x^2 + 1$的图象关于$M(2,0)$对称，求$f(x)$的解析式.

答案： 设 $y = f(x)$ 上的任一点为 $(x,y)$，$(x,y)$ 关于 $M(2,0)$ 的对称点为 $N(x_1,y_1)$，
则 $\begin{cases}2=\frac{x + x_1}{2}\\0=\frac{y + y_1}{2}\end{cases}$，$\therefore\begin{cases}x_1=4 - x\\y_1=-y\end{cases}$，即 $N(4 - x,-y)$.
由题意知点 $N$ 在函数 $y = x^2+1$ 的图象上，$\therefore - y=(4 - x)^2+1$，整理得 $y=-x^2+8x - 17$，
$\therefore f(x)=-x^2+8x - 17$.

1 在数轴上，对坐标分别为$x_1$和$x_2$的两点A和B，用绝对值定义两点间的距离，表示为$d(A,B)=|x_1 - x_2|$.
(1) 在数轴上任意取三点A，B，C，证明$d(A,B)\leq d(A,C)+d(B,C)$.
(2) 设A和B两点的坐标分别为-3和2，分别找出(1)中不等式等号成立和等号不成立时点C的范围.

答案：
(1) 设 $A(x_1),B(x_2),C(x_3)$，则 $d(A,C)=|x_1 - x_3|$，$d(B,C)=|x_2 - x_3|$，
$\therefore d(A,C)+d(B,C)=|x_1 - x_3|+|x_2 - x_3|=|x_1 - x_3|+|x_3 - x_2|\geqslant|(x_1 - x_3)+(x_3 - x_2)|=|x_1 - x_2|=d(A,B)$，
$\therefore d(A,B)\leqslant d(A,C)+d(B,C)$.
(2) 当等号成立，即 $d(A,B)=d(A,C)+d(B,C)$ 时，
有 $5=|-3 - x_3|+|2 - x_3|$，$\therefore - 3\leqslant x_3\leqslant2$，
$\therefore$ 等号成立时，$x_3\in[-3,2]$.
易得等号不成立时，$x_3\in(-\infty,-3)\cup(2,+\infty)$.

2 城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走. 如果按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点$A(x_1,y_1)$和$B(x_2,y_2)$，定义两点间距离为$d(A,B)=|x_1 - x_2|+|y_1 - y_2|$.
(1) 在平面直角坐标系中任意取三点A，B，C，证明$d(A,B)\leq d(A,C)+d(B,C)$；
(2) 设$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，分别找出(1)中不等式等号成立和等号不成立时点C的范围.

答案：
(1) 设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)$，则 $d(A,C)=|x_1 - x_3|+|y_1 - y_3|$，$d(B,C)=|x_2 - x_3|+|y_2 - y_3|$，
$\therefore d(A,C)+d(B,C)=|x_1 - x_3|+|y_1 - y_3|+|x_2 - x_3|+|y_2 - y_3|=|x_1 - x_3|+|x_3 - x_2|+|y_1 - y_3|+|y_3 - y_2|\geqslant|(x_1 - x_3)+(x_3 - x_2)|+|(y_1 - y_3)+(y_3 - y_2)|=|x_1 - x_2|+|y_1 - y_2|=d(A,B)$，即 $d(A,B)\leqslant d(A,C)+d(B,C)$.
(2) 由
(1)得当等号成立时，
$\begin{cases}|x_1 - x_2|=|x_1 - x_3|+|x_2 - x_3|\\|y_1 - y_2|=|y_1 - y_3|+|y_2 - y_3|\end{cases}$，
不妨设 $x_1\leqslant x_2,y_1\leqslant y_2$，可得 $\begin{cases}x_1\leqslant x_3\leqslant x_2\\y_1\leqslant y_3\leqslant y_2\end{cases}$.
$\therefore$ 等号成立时，点 $C$ 的范围为 $\{(x_3,y_3)|x_1\leqslant x_3\leqslant x_2,y_1\leqslant y_3\leqslant y_2\}$.
等号不成立时，点 $C$ 的范围为 $\{(x_3,y_3)|x_3\lt x_1或x_3\gt x_2,y_3\lt y_1或y_3\gt y_2\}$.