《2025年教材课本高中数学选择性必修第一册人教B版》

例2 已知a，b是平面$\alpha$内的两条相交直线，直线n满足n⊥a，n⊥b. 求证：n⊥$\alpha$.

答案：
证明：设m是$\alpha$内的任意一条直线，且n，a，b，m分别为直线n，a，b，m的方向向量，如图1−2−5所示. 则根据已知有$n\cdot a = 0$，$n\cdot b = 0$.
因为a与b相交，所以a，b不共线，又因为a，b，m共面，所以由共面向量定理可知，存在唯一的实数对(x，y)，使$m = xa + yb$，因此$n\cdot m = xn\cdot a + yn\cdot b = 0$，
从而可知n⊥m，所以n⊥m.因为直线n垂直于平面$\alpha$内的任意一条直线，所以n⊥$\alpha$.

例3 如图1−2−6所示，在三棱锥O−ABC中，OA，OB，OC两两互相垂直，E为OC的中点，且OB = OC = 2OA = 2，求直线AE与BC所成角的大小.

答案：
解：（方法一）根据已知可得$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$不共面，
且$|\overrightarrow{OA}| = 1$，$|\overrightarrow{OB}| = |\overrightarrow{OC}| = 2$，
$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OA}=0$.
又因为$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{OE}-\overrightarrow{OA}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}$，
所以$\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{BC}=(\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA})\cdot(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB})=\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}^{2}-\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}= 2$.
类似地，$|\overrightarrow{AE}|^{2}=(\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA})\cdot(\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA})=\frac{1}{4}\overrightarrow{OC}^{2}-\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OA}^{2}=2$，
$|\overrightarrow{BC}|^{2}=(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB})\cdot(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB})=\overrightarrow{OC}^{2}-2\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OB}^{2}=8$.
所以$\cos\langle\overrightarrow{AE},\overrightarrow{BC}\rangle=\frac{\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{AE}||\overrightarrow{BC}|}=\frac{2}{\sqrt{2}\times\sqrt{8}}=\frac{1}{2}$，因此$\langle\overrightarrow{AE},\overrightarrow{BC}\rangle=\frac{\pi}{3}$，即直线AE与BC所成角的大小为$\frac{\pi}{3}$.
（方法二）因为OA，OB，OC两两互相垂直，所以能以O为原点
，$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，
建立如图1−2−7所示空间直角坐标系.
则由OB = OC = 2OA = 2可知$A(1,0,0)$，$E(0,0,1)$，$B(0,2,0)$，$C(0,0,2)$，
所以$\overrightarrow{AE}=(-1,0,1)$，$\overrightarrow{BC}=(0,-2,2)$，
因此$\cos\langle\overrightarrow{AE},\overrightarrow{BC}\rangle=\frac{\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{AE}||\overrightarrow{BC}|}=\frac{1\times2}{\sqrt{(-1)^{2}+1^{2}}\times\sqrt{(-2)^{2}+2^{2}}}=\frac{1}{2}$，从而$\langle\overrightarrow{AE},\overrightarrow{BC}\rangle=\frac{\pi}{3}$，即直线AE与BC所成角的大小为$\frac{\pi}{3}$.

（方法三）设OB的中点为F，连接EF，AF. 由E，F分别为OC，OB中点可知EF为△OBC的中位线，从而EF//BC，
因此直线AE与BC所成角的大小等于直线AE与EF所成角的大小.
又易知OA = OE = OF = 1，而且OA，OE，OF两两互相垂直，
因此$AE = EF = AF=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$，所以△AEF是等边三角形，
从而$\angle AEF=\frac{\pi}{3}$.因此，直线AE与BC所成角的大小为$\frac{\pi}{3}$.