《2025年教材课本高中数学选择性必修第一册人教B版》

例4 如图1−1−11所示是一个正方体，求下列各对向量的夹角：
（1）$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{A_{1}C_{1}}$；
（2）$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{C_{1}A_{1}}$；
（3）$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{A_{1}D_{1}}$；
（4）$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{B_{1}A_{1}}$.

答案： 解 （1）由于$\overrightarrow{A_{1}C_{1}}$与$\overrightarrow{AC}$的方向相同，所以$\langle\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A_{1}C_{1}}\rangle=\langle\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\rangle = 45^{\circ}$.
（2）$\langle\overrightarrow{AB},\overrightarrow{C_{1}A_{1}}\rangle=\langle\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CA}\rangle = 135^{\circ}$.
（3）$\langle\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A_{1}D_{1}}\rangle=\langle\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\rangle=90°$.
（4）$\langle\overrightarrow{AB},\overrightarrow{B_{1}A_{1}}\rangle=\langle\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BA}\rangle = 180°$.