《2025年教材课本高中数学选择性必修第一册人教B版》

1 分别写出满足下列条件的圆的标准方程：
(1) 圆心为坐标原点，半径为2；
(2) 圆心为点(0，1)，半径为2；
(3) 圆心为点(-2，1)，半径为$\sqrt{3}$.

答案：
(1) $x^{2}+y^{2}=4$.
(2) $x^{2}+(y - 1)^{2}=4$.
(3) $(x + 2)^{2}+(y - 1)^{2}=3$.

2 求出下列方程表示的圆的圆心坐标和半径：
(1) $x^2 + y^2 = 5$；
(2)$(x - 3)^2 + y^2 = 4$；
(3)$x^2 + (y + 1)^2 = 2$；
(4)$(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 3$.

答案：
(1)圆心坐标为$(0,0)$，半径$r = \sqrt{5}$.
(2)圆心坐标为$(3,0)$，半径$r = 2$.
(3)圆心坐标为$(0,-1)$，半径$r = \sqrt{2}$.
(4)圆心坐标为$(-2,1)$，半径$r = \sqrt{3}$.

3 判断A(1，1)，B(1，$\sqrt{3}$)，C(1，2)与圆$x^2 + y^2 = 4$的位置关系.

答案： 记圆$x^{2}+y^{2}=4$的圆心为$O(0,0)$，半径$r = 2$.
　因为$\vert AO\vert=\sqrt{(1 - 0)^{2}+(1 - 0)^{2}}=\sqrt{2}＜r$，所以点$A$在圆内.
　因为$\vert BO\vert=\sqrt{(1 - 0)^{2}+(\sqrt{3}-0)^{2}}=2 = r$，所以点$B$在圆上.
　因为$\vert CO\vert=\sqrt{(1 - 0)^{2}+(2 - 0)^{2}}=\sqrt{5}＞r$，所以点$C$在圆外.

4 写出圆心为点(3，4)且过坐标原点的圆的方程.

答案： 依题意得所求圆的半径$r=\sqrt{(3 - 0)^{2}+(4 - 0)^{2}}=5$.
　所以所求圆的方程为$(x - 3)^{2}+(y - 4)^{2}=25$.

5 写出圆心在坐标原点且半径为r (r＞0)的圆的标准方程.

答案： $x^{2}+y^{2}=r^{2}(r＞0)$.

1 分别求满足下列条件的圆的方程：
(1) 以A(2，3)，B(4，9)为直径的两个端点的圆；
(2) 过点(0，1)和(0，3)，半径等于1的圆.

答案：
(1)因为线段$AB$为直径，所以圆心坐标为$(3,6)$.
　又$\vert AB\vert=\sqrt{(2 - 4)^{2}+(3 - 9)^{2}}=2\sqrt{10}$，所以圆的半径$r = \sqrt{10}$. 故圆的方程为$(x - 3)^{2}+(y - 6)^{2}=10$.
(2)设圆的标准方程为$(x - a)^{2}+(y - b)^{2}=1$，由题意，得$\begin{cases}(0 - a)^{2}+(1 - b)^{2}=1\\(0 - a)^{2}+(3 - b)^{2}=1\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 0\\b = 2\end{cases}$.
　因此所求圆的方程为$x^{2}+(y - 2)^{2}=1$.

2 求经过点A(1，0)，B(0，1)，且圆心在直线x + y = 0上的圆的方程.

答案： 设所求圆的方程为$(x - a)^{2}+(y - b)^{2}=r^{2}$，由题意，得$\begin{cases}(1 - a)^{2}+(0 - b)^{2}=r^{2}\\(0 - a)^{2}+(1 - b)^{2}=r^{2}\\a + b = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 0\\b = 0\\r = 1\end{cases}$.
　因此所求圆的方程为$x^{2}+y^{2}=1$.

3 已知P(-1，-1)，点Q是圆$(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 1$上任意一点，求|PQ|的最大值.

答案： 依题意知圆心$O$为$(2,3)$，而$\vert PO\vert=\sqrt{(-1 - 2)^{2}+(-1 - 3)^{2}}=5＞1$，所以$P$在圆外.
　故$\vert PQ\vert$最大值为$\vert PO\vert+1 = 6$.