《2025年教材课本高中数学选择性必修第一册人教B版》

例2 设AB是空间中任意一条线段，O是空间中任意一点，求证：M为AB中点的充要条件是
$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})$.

答案：
证明 因为
$M为AB中点\Leftrightarrow\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}$$\Leftrightarrow\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OM}$$\Leftrightarrow\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})$，
所以结论成立.如图1−1−9所示，如果棱锥$O - ABCD$的底面ABCD是一个平行四边形，则N既是AC的中点，也是BD的中点，从而由例2的结论可知$\overrightarrow{ON}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})$，$\overrightarrow{ON}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD})$.当然，同样也有$\overrightarrow{DN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC})$等.