《2025年教材课本高中数学选择性必修第一册人教B版》

例2 已知椭圆C的焦点为F1，F2，短轴的一个端点为B，且△BF1F2是一个等边三角形，求椭圆C的离心率.　　　　　　　　　　　　　

答案： 因为|BF1|=|BF2|=a，|F1F2|=2c，所以依据题意可知a=2c,从而有　　　　　　　　　　　e=$\frac{C}{a}$=$\frac{1}{2}$

例3 已知椭圆$\frac{x}{a²}$+$\frac{y}{b²}$=1(a＞b＞0)的左焦点为F，且P是椭圆上的一点，求|PF|的最小值与最大值.

答案： 解 记椭圆的焦距为2c，则F(-c,0),而且c = $\sqrt{a^{2} - b^{2}}$，设P(x, y), 则$\mid P F \mid^{2} = (x + c)^{2} + y^{2}$,
又因为P是椭圆上一点，所以$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$，即$y^{2} = b^{2} - \frac{b^{2}}{a^{2}}x^{2}$，因此$\mid P F \mid^{2} = (x + c)^{2} + b^{2} - \frac{b^{2}}{a^{2}}x^{2} = (1 - \frac{b^{2}}{a^{2}})x^{2} + 2 x c + b^{2} + c^{2}= \frac{c^{2}}{a^{2}}x^{2} + 2 x c + a^{2} = \frac{c^{2}}{a^{2}}(x^{2} + 2 \frac{a^{2}}{c}x + \frac{a^{4}}{c^{2}})= \frac{c^{2}}{a^{2}}(x + \frac{a^{2}}{c})^{2}$. 
注意到$- a \le x \leqslant a$，而且$- \frac{a^{2}}{c} = - \frac{a}{c}a < - a$,所以，
当x=-a时，$\mid P F \mid^{2}$最小，此时$\mid P F \mid$有最小值，且最小值为

$\sqrt{\frac{c^{2}}{a^{2}}( - a + \frac{a^{2}}{c})^{2}} = a - c$;

当x=a时，$\mid P F \mid^{2}$最大，此时$\mid P F \mid$有最大值，且最大值为 

   $\sqrt{\frac{c^{2}}{a^{2}}(a + \frac{a^{2}}{c})^{2}} = a + c$.