《2025年教材课本高中数学选择性必修第一册人教B版》

例2 已知ABCD是一个长方形，$AB = 4$，$AD = 1$. 判断线段CD上是否存在点P，使得$AP\perp BP$. 如果存在，指出满足条件的P有多少个；如果不存在，说明理由.

答案：
解 以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴，建立如图2−1−5所示平面直角坐标系.
依据已知可得$A(-2,0)$，$B(2,0)$，$C(2,1)$，$D(-2,1)$.
设$P(t,1)$是线段CD上一点，则$-2\leq t\leq 2$，
而且$\overrightarrow{PA}=(-2 - t,-1)$，$\overrightarrow{PB}=(2 - t,-1)$.
因为$AP\perp BP$的充要条件是$\overrightarrow{PA}\perp\overrightarrow{PB}$，即$\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=0$，
这也等价于$(-2 - t)(2 - t) + 1 = 0$.
又因为上述方程的解为$t = \sqrt{3}$或$t = -\sqrt{3}$，
所以满足条件的P点存在，而且有两个.

1 已知数轴上$A(-2)$，$B(10)$，求这两点之间的距离以及它们的中点坐标.

答案： $|AB| = |\overrightarrow{AB}| = |10 - (-2)| = 12$. 设 $M(x)$ 是线段 $AB$ 的中点，则其坐标为 $x=\frac{-2 + 10}{2}=4$.

2 已知$A(3,0)$，$B(0,-4)$，求这两点之间的距离以及它们的中点坐标.

答案： $|AB|=\sqrt{(3 - 0)^2+(0 + 4)^2}=5$.
设 $AB$ 的中点为 $M(x,y)$，则由中点坐标公式知，$x=\frac{3 + 0}{2}=\frac{3}{2}$，$y=\frac{0+(-4)}{2}=-2$，所以 $AB$ 的中点坐标为 $(\frac{3}{2},-2)$.