《2025年教材课本高中数学选择性必修第一册人教B版》

例1 根据下列条件，求圆的标准方程：
(1) 圆心在点C(-2，1)，且过点A(2，-2)；
(2) 过点(0，1)和点(2，1)，半径为$\sqrt{5}$.

答案： 分析 为了求得圆的标准方程，只要确定圆心坐标和半径就可以了.
解
(1) 所求圆的半径
r = |CA|=$\sqrt{(2 + 2)^2 + (-2 - 1)^2}$=5.
又因为圆心为(-2，1)，所以所求圆的方程为
(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 25.
(2) 设圆心坐标为(a，b)，则圆的方程为
(x - a)^2 + (y - b)^2 = 5.
因为(0，1)，(2，1)是圆上的点，所以
$\begin{cases}a^2 + (1 - b)^2 = 5，\\(2 - a)^2 + (1 - b)^2 = 5，\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 1，\\b = -1\end{cases}$或$\begin{cases}a = 1，\\b = 3.\end{cases}$
因此，所求圆的方程为(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 5或(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 5.

例2 如图2−3−2所示，设⊙C的圆心C在直线l：2x - 7y + 8 = 0上，且A(6，0)，B(1，5)都是⊙C上的点，求圆的标准方程.

答案： 解 (方法一) 设所求圆的方程为$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$，
由题意得$\begin{cases}(6 - a)^2 + (0 - b)^2 = r^2，\\(1 - a)^2 + (5 - b)^2 = r^2，\\2a - 7b + 8 = 0，\end{cases}$解得a = 3，b = 2，$ r^2 = 13$ .
因此所求圆的方程为$(x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 13$.
(方法二) 设线段AB的垂直平分线为m，则C既在直线m上，又在直线l上，所以C是直线m与l的交点.因为直线AB的斜率为$\frac{5 - 0}{1 - 6}$=-1，所以m的斜率为1；
又因为AB中点的横坐标和纵坐标分别为$\frac{6 + 1}{2}=\frac{7}{2}$，$\frac{0 + 5}{2}=\frac{5}{2}$，
所以直线m的方程为y - $\frac{5}{2}$=1×(x - $\frac{7}{2}$)，即x - y - 1 = 0.
解方程组$\begin{cases}x - y - 1 = 0，\\2x - 7y + 8 = 0，\end{cases}$得x = 3，y = 2.
因此，圆心C的坐标为(3，2)，又圆的半径为|CA|=$\sqrt{(6 - 3)^2 + (0 - 2)^2}$=$\sqrt{13}$，
从而所求圆的方程是$(x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 13$.