《2025年教材课本高中数学选择性必修第一册人教B版》

例2 如图1 - 1 - 19所示平行六面体$ABCD - A'B'C'D'$中，设$\overrightarrow{AB} = \boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{AD} = \boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{AA'} = \boldsymbol{c}$，试用基底$\{\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\}$表示向量$\overrightarrow{AC'}$，$\overrightarrow{BD'}$，$\overrightarrow{A'C}$，$\overrightarrow{DB'}$.

答案： 解 因为是平行六面体，
所以$\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC'}$$= \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}$$= \boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} + \boldsymbol{c}$.
类似地，有
$\overrightarrow{BD'} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DD'} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = -\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} + \boldsymbol{c}$，
$\overrightarrow{A'C} = \overrightarrow{A'B'} + \overrightarrow{B'B} + \overrightarrow{BC} = \boldsymbol{a} - \boldsymbol{c} + \boldsymbol{b}$，
$\overrightarrow{DB'} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BB'} = -\boldsymbol{b} + \boldsymbol{a} + \boldsymbol{c}$.