《2025年教材课本高中数学选择性必修第一册人教B版》

例1 如图1−2−41所示，已知ABCD - A'B'C'D'是平行六面体，AD = 3，AB = 4，AA' = 5，∠BAD = 90°，∠BAA' = ∠DAA' = 60°，求AC'的长.

答案： 解 由已知可得$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AA'}$不共面，而且$|\overrightarrow{AD}| = 3$，$|\overrightarrow{AB}| = 4$，$|\overrightarrow{AA'}| = 5$，从而$\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$，$\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AA'} = 3×5×\cos 60° = 7.5$，$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AA'} = 10$又因为$\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DD'} + \overrightarrow{D'C'} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{AB}$，所以$\begin{aligned}|\overrightarrow{AC'}|^2&=(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{AB})^2\\&=|\overrightarrow{AD}|^2 + |\overrightarrow{AA'}|^2 + |\overrightarrow{AB}|^2 + 2\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AA'} + 2\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AA'} \cdot \overrightarrow{AB}\\&=3^2 + 5^2 + 4^2 + 2×7.5 + 2×10\\&= 85\end{aligned}$
因此$|\overrightarrow{AC'}| = \sqrt{85}$，即所求长为$\sqrt{85}$.