《2025年教材课本高中数学选择性必修第一册人教B版》

1.已知$\{\boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2},\boldsymbol{e}_{3}\}$是单位正交基底，分别写出下列空间向量的坐标:
　(1)$\boldsymbol{p}=-\boldsymbol{e}_{1}+\boldsymbol{e}_{2}-2\boldsymbol{e}_{3}$;　　　(2)$\boldsymbol{q}=\boldsymbol{e}_{1}-\boldsymbol{e}_{2}$;　　　(3)$\boldsymbol{r}=2\boldsymbol{e}_{2}+3\boldsymbol{e}_{3}$.

答案：
(1)$p=(-1,1,-2)$.
(2)$q=(1,-1,0)$.
(3)$r=(0,2,3)$.

2.已知$\boldsymbol{a}=(3,2,-1)$，$\boldsymbol{b}=(5,-3,2)$，求:
　(1)$\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}$;　　　　　　　　(2)$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}$;　　　　　(3)$(2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot(\boldsymbol{a}-3\boldsymbol{b})$.

答案：
(1)$a + 2b=(3,2,-1)+2(5,-3,2)=(3,2,-1)+(10,-6,4)=(3 + 10,2 - 6,-1 + 4)=(13,-4,3)$.
(2)$a\cdot b=3×5 + 2×(-3)+(-1)×2=7$.
(3)$(2a + b)\cdot(a - 3b)=2a^{2}-5a\cdot b - 3b^{2}=2[3^{2}+2^{2}+(-1)^{2}]-5×7 - 3[5^{2}+(-3)^{2}+2^{2}]=28 - 35 - 114=-121$.

3.分别判断下列各对向量是否平行:
　(1)$(0,0,5)$，$(0,0,7)$;　　　　　　(2)$(4,0,3)$，$(8,0,6)$.

答案：
(1)令$a=(0,0,5)$,$b=(0,0,7)$.
$\because b=\frac{7}{5}a$,$\therefore a// b$,即向量$(0,0,5)$与$(0,0,7)$平行.
(2)令$c=(4,0,3)$,$d=(8,0,6)$.
$\because d = 2c$,$\therefore c// d$,即向量$(4,0,3)$与$(8,0,6)$平行.

4.分别判断下列各对向量是否垂直:
　(1)$(3,4,0)$，$(0,0,5)$;　　　　　　(2)$(3,1,3)$，$(1,0,-1)$.

答案：
(1)令$a=(3,4,0)$,$b=(0,0,5)$,因为$a\cdot b = 0$,所以$a\perp b$,即向量$(3,4,0)$与$(0,0,5)$垂直.
(2)令$c=(3,1,3)$,$d=(1,0,-1)$,因为$c\cdot d = 0$,所以$c\perp d$,即向量$(3,1,3)$与$(1,0,-1)$垂直.

5.根据点的特征，用集合分别表示空间直角坐标系中:
　(1)第Ⅱ卦限、第Ⅲ卦限、第Ⅵ卦限、第Ⅶ卦限、第Ⅷ卦限的点集;
　(2)$y$轴、$xOy$平面、$yOz$平面的点集.

答案：
(1)第Ⅱ卦限的点集用集合可表示为$\{(x,y,z)|x\lt0,y\gt0,z\gt0\}$,第Ⅲ卦限的点集用集合可表示为$\{(x,y,z)|x\lt0,y\lt0,z\gt0\}$,第Ⅵ卦限的点集用集合可表示为$\{(x,y,z)|x\lt0,y\gt0,z\lt0\}$,第Ⅶ卦限的点集用集合可表示为$\{(x,y,z)|x\lt0,y\lt0,z\lt0\}$,第Ⅷ卦限的点集用集合可表示为$\{(x,y,z)|x\gt0,y\lt0,z\lt0\}$.
(2)$y$轴的点集用集合可表示为$\{(0,y,0)|y\in\mathbf{R}\}$,$xOy$平面的点集用集合可表示为$\{(x,y,0)|x\in\mathbf{R},y\in\mathbf{R}\}$,$yOz$平面的点集用集合可表示为$\{(0,y,z)|y\in\mathbf{R},z\in\mathbf{R}\}$.

6.已知$M(x,y,z)$为空间直角坐标系中的一点，$O$为坐标原点，求$OM$的长.

答案： $OM=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$.

7.已知点$A(1,5,3)$，$B(3,1,4)$，求线段$AB$中点的坐标.

答案： 线段$AB$中点的坐标为$(\frac{1 + 3}{2},\frac{5 + 1}{2},\frac{3 + 4}{2})$,即$(2,3,\frac{7}{2})$.

8.分别求满足下列条件的向量$\boldsymbol{x}$:
　(1)$2(-1,5,1)+4\boldsymbol{x}=(2,14,-2)$;
　(2)$(3,7,1)+2\boldsymbol{x}=(6,10,4)-\boldsymbol{x}$.

答案：
(1)设$x=(a,b,c)$,则有$2(-1,5,1)+4(a,b,c)=(2,14,-2)$,
即$\begin{cases}-2 + 4a = 2\\10 + 4b = 14\\2 + 4c = -2\end{cases}$,解得$\begin{cases}a = 1\\b = 1\\c = -1\end{cases}$,所以$x=(1,1,-1)$.
(2)设$x=(m,n,p)$,则有$(3,7,1)+2(m,n,p)=(6,10,4)-(m,n,p)$,
即$\begin{cases}3 + 2m = 6 - m\\7 + 2n = 10 - n\\1 + 2p = 4 - p\end{cases}$,解得$\begin{cases}m = 1\\n = 1\\p = 1\end{cases}$,所以$x=(1,1,1)$.

9.根据下列条件，分别求向量$\overrightarrow{AB}$的坐标:
　(1)$A(2,-3,-1)$，$B(-6,5,3)$;
　(2)$A(-2,3,6)$，$B(-8,-6,4)$.

答案：
(1)$\overrightarrow{AB}=(-6,5,3)-(2,-3,-1)=(-8,8,4)$.
(2)$\overrightarrow{AB}=(-8,-6,4)-(-2,3,6)=(-6,-9,-2)$.

1.已知$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$是空间向量，根据下列各条件分别求$\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle$:
　(1)$\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=1$;　　　(2)$\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=-1$;　　　(3)$\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=0$;
　(4)$\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=\frac{1}{2}$;　　　(5)$\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=-\frac{\sqrt{3}}{2}$;　　(6)$\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

答案：
(1)$\langle a,b\rangle = 0^{\circ}$.
(2)$\langle a,b\rangle = 180^{\circ}$.
(3)$\langle a,b\rangle = 90^{\circ}$.
(4)$\langle a,b\rangle = 60^{\circ}$.
(5)$\langle a,b\rangle = 150^{\circ}$.
(6)$\langle a,b\rangle = 45^{\circ}$.

2.已知$\boldsymbol{a}=(2,-3,1)$，$\boldsymbol{b}=(2,0,3)$，$\boldsymbol{c}=(0,0,2)$，求:
　(1)$\boldsymbol{a}\cdot(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})$;　　　　　　　　　　　(2)$(\boldsymbol{a}+6\boldsymbol{b})\cdot(\boldsymbol{a}-6\boldsymbol{b})$.

答案：
(1)$a\cdot(b + c)=(2,-3,1)\cdot[(2,0,3)+(0,0,2)]=(2,-3,1)\cdot(2,0,5)=4 + 5 = 9$.
(2)$(a + 6b)\cdot(a - 6b)=a^{2}-36b^{2}=14 - 36×13=-454$.

3.求下列两个空间向量夹角的余弦:
　(1)$\boldsymbol{a}=(2,-3,\sqrt{3})$，$\boldsymbol{b}=(1,0,0)$;
　(2)$\boldsymbol{a}=(-1,-1,1)$，$\boldsymbol{b}=(-1,0,1)$.

答案：
(1)$\cos\langle a,b\rangle=\frac{a\cdot b}{|a||b|}=\frac{2}{\sqrt{4 + 9 + 3}}=\frac{1}{2}$.
(2)$\cos\langle a,b\rangle=\frac{a\cdot b}{|a||b|}=\frac{1 + 1}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$.

4.已知$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$是空间向量，根据下列各条件分别求$\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle$:
　(1)$\boldsymbol{a}=(1,2,0)$，$\boldsymbol{b}=(2,0,5)$;　　(2)$\boldsymbol{a}=(3,4,5)$，$\boldsymbol{b}=(2,-1,0)$.

答案：
(1)$\cos\langle a,b\rangle=\frac{a\cdot b}{|a||b|}=\frac{2}{\sqrt{1^{2}+2^{2}}\cdot\sqrt{2^{2}+5^{2}}}=\frac{2\sqrt{145}}{145}$.
(2)$\cos\langle a,b\rangle=\frac{a\cdot b}{|a||b|}=\frac{6 - 4}{\sqrt{3^{2}+4^{2}+5^{2}}\cdot\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{\sqrt{10}}{25}$.