《2025年教材课本高中数学选择性必修第一册人教B版》

③ 方程$y - 1 = k(x + 1)$在$k$取遍所有实数时，可对应无数条直线，这无数条直线有什么共同点？

答案： 取$x = -1$，$y = 1$，则原等式中左边$=1 - 1 = 0 = k(-1 + 1) =$右边，则无论$k$为何值，等式都成立。故这无数条直线恒过定点$(-1,1)$。

④ 一条直线$l$经过点$P(2,-3)$，并且倾斜角是直线$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$的倾斜角的2倍，求直线$l$的方程.

答案： 易知直线$y = \frac{\sqrt{3}}{3}x$的斜率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，则其倾斜角为$\frac{\pi}{6}$，所以所求直线$l$的倾斜角为$\frac{\pi}{3}$，则所求直线的斜率为$\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}$。故直线$l$的方程为$y + 3=\sqrt{3}(x - 2)$，即$y=\sqrt{3}x - 2\sqrt{3}-3$。

⑤ 已知$A(-3,2)$，$B(1,-4)$，求线段$AB$的垂直平分线的方程.

答案： 易知$AB$中点的坐标为$(-1,-1)$，又$AB$所在直线的斜率为$k_{AB}=\frac{2 - (-4)}{-3 - 1}=-\frac{3}{2}$，所以线段$AB$的垂直平分线的斜率$k=\frac{2}{3}$。故线段$AB$的垂直平分线的方程为$y + 1=\frac{2}{3}(x + 1)$，即$2x - 3y - 1 = 0$。

⑥ 求经过点$A(3,2)$，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程.

答案： 若所求直线不过原点，则可以设该直线的方程为$\frac{x}{m}+\frac{y}{m}=1$，把$(3,2)$代入，得$\frac{3}{m}+\frac{2}{m}=1$，解得$m = 5$，所以所求直线的方程为$x + y - 5 = 0$。若所求直线过原点，则可以设该直线的方程为$y = kx$，把$(3,2)$代入，得$2 = 3k$，则$k=\frac{2}{3}$，所以所求直线的方程为$2x - 3y = 0$。综上，所求直线的方程为$x + y - 5 = 0$或$2x - 3y = 0$。

⑦ 已知点$A(-1,2)$，$B(2,1)$，$C(0,4)$，求$\triangle ABC$三条高所在直线的方程.

答案： 分别求出三边所在直线的斜率：$k_{BA}=\frac{1 - 2}{2 - (-1)}=-\frac{1}{3}$，$k_{AC}=\frac{4 - 2}{0 - (-1)}=2$，$k_{BC}=\frac{4 - 1}{0 - 2}=-\frac{3}{2}$。结合高与对应边的位置关系可知，过点$A$的高所在直线的方程为$y - 2=\frac{2}{3}(x + 1)$，即$2x - 3y + 8 = 0$；过点$B$的高所在直线的方程为$y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 2)$，即$x + 2y - 4 = 0$；过点$C$的高所在直线的方程为$y - 4 = 3(x - 0)$，即$3x - y + 4 = 0$。

⑧ 已知直线$l_1:(m + 2)x-(m - 2)y + 2 = 0$，直线$l_2:3x + my - 5 = 0$，且$l_1\perp l_2$，求$m$的值.

答案： 易知，若$m = 2$，则$l_{1}\perp l_{2}$不成立，则直线$l_{1}$的斜率$k_{1}=\frac{m + 2}{m - 2}$，直线$l_{2}$的斜率$k_{2}=-\frac{3}{m}$。$\because l_{1}\perp l_{2}$，$\therefore k_{1}\cdot k_{2}=-1$，即$\frac{m + 2}{m - 2}\cdot(-\frac{3}{m})=-1$，解得$m = 6$或$m = -1$。

⑨ 直线$2x - y + c = 0$与直线$2x - y + 2 = 0$之间的距离为$\sqrt{5}$，求$c$的值.

答案： 由平行线间的距离公式，得$\frac{|c - 2|}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}}=\sqrt{5}$，解得$c = 7$或$c = -3$。

⑩ 直线的方程$Ax + By + C = 0$（$A^2 + B^2\neq0$）中的$A$，$B$，$C$满足什么条件时，直线分别具有如下性质？
(1) 过坐标原点； (2) 与两条坐标轴都相交；
(3) 与$x$轴无交点； (4) 与$y$轴无交点；
(5) 与$x$轴垂直； (6) 与$y$轴垂直.

答案： 1.
(1) 将$(0,0)$代入，得$C = 0$。
(2) 若$Ax + By + C = 0$与两条坐标轴都相交，则该直线不与$x$轴平行，也不与$y$轴平行，所以$A\neq0$且$B\neq0$。
(3) 若$Ax + By + C = 0$与$x$轴无交点，则该直线与$x$轴平行，所以$A = 0$，$B\neq0$，$C\neq0$。
(4) 若$Ax + By + C = 0$与$y$轴无交点，则该直线与$y$轴平行，所以$A\neq0$，$B = 0$，$C\neq0$。
(5) 若$Ax + By + C = 0$与$x$轴垂直，则该直线与$y$轴平行或重合，所以$A\neq0$，$B = 0$。
(6) 若$Ax + By + C = 0$与$y$轴垂直，则该直线与$x$轴平行或重合，所以$A = 0$，$B\neq0$。

⑪ 向量$(x_0,y_0)$与$(-y_0,x_0)$中，如果其中一个为直线$l$的一个方向向量，则另一个一定是直线$l$的一个法向量吗？

答案： 一定是. 令$\boldsymbol{M}=(x_{0},y_{0})$，$\boldsymbol{N}=(-y_{0},x_{0})$，$\boldsymbol{M}\cdot\boldsymbol{N}=-x_{0}y_{0}+x_{0}y_{0}=0$，所以$\boldsymbol{M}\perp\boldsymbol{N}$，即如果一个是直线$l$的方向向量，则另一个一定是直线$l$的法向量。

⑫ 已知$P$是直线$l$上一点，且$\boldsymbol{n}$是直线$l$的一个方向向量，分别根据下列条件求直线$l$的方程：
(1)$P(3,-5)$，$\boldsymbol{n}=(1,2)$； (2)$P(0,5)$，$\boldsymbol{n}=(3,-4)$.

答案：
(1) $\because\boldsymbol{n}=(1,2)$，$\therefore$直线$l$的斜率$k = 2$，$\therefore$直线的方程为$y + 5 = 2(x - 3)$，即$2x - y - 11 = 0$。
(2) $\because\boldsymbol{n}=(3,-4)$，$\therefore$直线$l$的斜率$k = -\frac{4}{3}$，$\therefore$直线的方程为$y = -\frac{4}{3}x + 5$，即$4x + 3y - 15 = 0$。

⑬ 已知$P$是直线$l$上一点，且$\boldsymbol{v}$是直线$l$的一个法向量，分别根据下列条件求直线$l$的方程：
(1)$P(1,2)$，$\boldsymbol{v}=(3,-4)$； (2)$P(-1,2)$，$\boldsymbol{v}=(3,4)$.

答案：
(1) $\because\boldsymbol{v}=(3,-4)$，$\therefore$直线$l$的一个方向向量为$(4,3)$，$\therefore$直线$l$的斜率$k=\frac{3}{4}$。$\therefore$直线的方程为$y - 2=\frac{3}{4}(x - 1)$，即$3x - 4y + 5 = 0$。
(2) $\because\boldsymbol{v}=(3,4)$，$\therefore$直线$l$的一个方向向量为$(-4,3)$，$\therefore$直线$l$的斜率$k = -\frac{3}{4}$。$\therefore$直线的方程为$y - 2 = -\frac{3}{4}(x + 1)$，即$3x + 4y - 5 = 0$。

① 已知$G(-1,0)$为正方形的中心，且这个正方形的一条边所在的直线方程为$x - 3y - 5 = 0$，求这个正方形其他三条边所在的直线的方程.

答案： $\because$正方形的一条边所在直线$x - 3y - 5 = 0$过$(5,0)$，且$G(-1,0)$，$\therefore$其对边所在直线必经过点$(-7,0)$。又两对应直线相互平行，$\therefore$设对边所在直线的方程为$x - 3y + c = 0$，把$(-7,0)$代入，得$c = 7$，故其对边所在直线的方程为$x - 3y + 7 = 0$。由平行线间的距离公式得正方形边长为$d = \frac{|-5 - 7|}{\sqrt{1^{2}+3^{2}}}=\frac{6\sqrt{10}}{5}$。设另两边所在的直线（系）方程为$3x + y + m = 0$。那么$G(-1,0)$到这两条直线的距离都为$\frac{3\sqrt{10}}{5}$，即$\frac{|-3 + m|}{\sqrt{3^{2}+1^{2}}}=\frac{3\sqrt{10}}{5}$，解得$m = 9$或$m = -3$。故另两边所在直线的方程分别为$3x + y + 9 = 0$和$3x + y - 3 = 0$。综上，其他三条边所在直线方程分别为$x - 3y + 7 = 0$，$3x + y + 9 = 0$，$3x + y - 3 = 0$。

② 已知直线$l$经过点$P(2,1)$，且$A(2,3)$，$B(4,-5)$两点到直线$l$的距离相等，求直线$l$的方程.

答案： 显然直线$l$的斜率存在. 当$l$经过线段$AB$的中点$(3,-1)$时，$l$的方程为$\frac{y - 1}{-1 - 1}=\frac{x - 2}{3 - 2}$，即$2x + y - 5 = 0$。当$l// AB$时，$l$的斜率$k=\frac{3 + 5}{2 - 4}=-4$，所以$l$的方程为$y - 1 = -4(x - 2)$，即$4x + y - 9 = 0$。综上，直线$l$的方程为$2x + y - 5 = 0$或$4x + y - 9 = 0$。

③ 求点$A(1,3)$关于直线$x - y + 3 = 0$的对称点的坐标.

答案： 设过点$A$且与$x - y + 3 = 0$垂直的直线为$x + y + m = 0$，把$(1,3)$代入，得$m = -4$，即$x + y - 4 = 0$。由$\begin{cases}x - y + 3 = 0\\x + y - 4 = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=\frac{1}{2}\\y=\frac{7}{2}\end{cases}$，由中点坐标公式可得点$A$关于直线$x - y + 3 = 0$的对称点的坐标为$(0,4)$。