《2025年教材课本高中数学选择性必修第一册人教B版》

练习A
① 已知平面α外一点A到平面α的距离为d，且点A到平面α内一点B的距离为5，写出d的取值范围.

答案： $0 ＜ d\leqslant5$.

② 空间中到已知平面α的距离等于3cm的所有点组成的集合是什么图形？

答案： 是相距6cm且关于平面$\alpha$对称的两个平行平面.

③ 已知平面α与平面β平行，且这两个平面之间的距离为4cm，则到α，β的距离相等的所有点组成的集合是什么图形？

答案： 是分别与$\alpha$和$\beta$平行且到$\alpha$和$\beta$的距离都为2cm的一个平面.

④ 已知二面角α - l - β的大小为45°，点A∈α，点A到l的距离等于2，求点A到半平面β的距离.

答案： 点$A$到半平面$\beta$的距离为$2\sin45^{\circ}=\sqrt{2}$.

⑤ 如图所示，已知Rt△ACB在平面α内，D是斜边AB的中点，OC⊥α，且O到平面α的距离为12cm，AC = 6cm，BC = 8cm，求线段OA，OB，OD的长.

答案： 连接$CD$,由题意知,$OC\perp AC$,$OC\perp BC$,$OC\perp CD$.
所以$OA = \sqrt{OC^{2}+AC^{2}} = 6\sqrt{5}(cm)$,$OB = \sqrt{OC^{2}+BC^{2}} = 4\sqrt{13}(cm)$.
又$AB = \sqrt{AC^{2}+BC^{2}} = 10(cm)$,所以$OD = \sqrt{OC^{2}+CD^{2}}=\sqrt{OC^{2}+(\frac{AB}{2})^{2}} = 13(cm)$.

练习B
① 已知正四面体ABCD的棱长都为1，点M，N分别是AB，CD的中点，求M，N这两点间的距离.

答案：
如图D1连接$DM$,$CM$,$BN$,$MN$.
由四面体$ABCD$为正四面体可知,
$AB\perp DM$,$AB\perp CM$,又$CM\cap DM = M$,
$\therefore AM\perp$平面$DMC$.
又$MN\subset$平面$DMC$,$\therefore AB\perp MN$.
易知$BM=\frac{1}{2}$,$BN = \frac{\sqrt{3}}{2}$,
故在$Rt\triangle BMN$中,$MN = \sqrt{BN^{2}-BM^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.