《2025年教材课本高中数学选择性必修第一册人教B版》

7. 已知圆$C$和$y$轴相切，圆心在直线$x - 3y=0$上，且在直线$y=x$上截得的弦长为$2\sqrt{7}$，求圆$C$的方程.

答案： 因为圆心在直线$x = 3y$上，不妨设圆心坐标为$(3m,m)$。依题意知$r = |3m|$。圆心到直线$y = x$的距离$d=\frac{|3m - m|}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}}=\sqrt{2}|m|$。由垂径定理可得$(\sqrt{2}|m|)^{2}+7 = |3m|^{2}$，解得$m=\pm1$，所以所求圆的方程为$(x - 3)^{2}+(y - 1)^{2}=9$或$(x + 3)^{2}+(y + 1)^{2}=9$。

1. 已知$\triangle ABC$中，$AB = 3$，$AC = 2BC$，求$\triangle ABC$的面积的最大值.

答案：
如图D2所示，以$B$为坐标原点，以$\overrightarrow{BA}$的方向为$x$轴正方向建立平面直角坐标系。设$C$点坐标为$(m,n)$，依题意可得$2\sqrt{m^{2}+n^{2}}=\sqrt{(m - 3)^{2}+n^{2}}$，化简得$(m + 1)^{2}+n^{2}=4$。即$C$点的轨迹为以$(-1,0)$为圆心，$2$为半径且去掉$(-3,0)$和$(1,0)$两点的圆。所以当$C$点纵坐标的绝对值最大时三角形的面积最大，此时$\triangle ABC$的高为$2$。所以$(S_{\triangle ABC})_{\max}=\frac{1}{2}\times3\times2 = 3$。

2. 已知$\triangle ABC$的面积为$S$，外接圆的半径为$R$，且$\angle A$，$\angle B$，$\angle C$的对边分别为$a$，$b$，$c$，用坐标法证明
$R=\frac{abc}{4S}$.

答案：
如图D3所示，以$A$为坐标原点，以$\overrightarrow{AB}$的方向为$x$轴正方向建立平面直角坐标系。设$C(m,n)$，依题意可得$b=\sqrt{m^{2}+n^{2}}$，$a=\sqrt{(m - c)^{2}+n^{2}}$，$S=\frac{1}{2}c\cdot|n|$。作$AB$的垂直平分线，作$AC$的垂直平分线交$AC$于点$M$，交$AB$的垂直平分线于点$O$，连接$OA$。则$M(\frac{m}{2},\frac{n}{2})$，线段$AC$所在直线的斜率$k_{AC}=\frac{n}{m}$，所以线段$AC$的垂直平分线的方程为$y-\frac{n}{2}=-\frac{m}{n}(x-\frac{m}{2})$，线段$AB$的垂直平分线的方程为$x=\frac{c}{2}$。则易得两直线的交点$O$的坐标为$(\frac{c}{2},\frac{n^{2}-cm + m^{2}}{2n})$，所以$R = |OA|=\sqrt{\frac{c^{2}}{4}+\frac{(n^{2}-cm + m^{2})^{2}}{4n^{2}}}$。所以$(4RS)^{2}=16\times[\frac{c^{2}}{4}+\frac{(n^{2}-cm + m^{2})^{2}}{4n^{2}}]\times\frac{1}{4}c^{2}n^{2}=c^{4}n^{2}+(n^{2}-cm + m^{2})^{2}c^{2}=c^{2}(c^{2}n^{2}+n^{4}+m^{4}+c^{2}m^{2}-2cn^{2}m - 2cm^{3}+2n^{2}m^{2})$，$a^{2}b^{2}c^{2}=(m^{2}+n^{2})[(m - c)^{2}+n^{2}]c^{2}=c^{2}(m^{2}+n^{2})(m^{2}+n^{2}-2cm + c^{2})=c^{2}(c^{2}n^{2}+n^{4}+m^{4}+c^{2}m^{2}-2cn^{2}m - 2cm^{3}+2n^{2}m^{2})$，所以$(4RS)^{2}=a^{2}b^{2}c^{2}$，即$R=\frac{abc}{4S}$。