《2025年教材课本高中数学选择性必修第一册人教B版》

例1 如图1−2−32所示，已知二面角α - l - β的棱上有A，B两个点，AC⊂α，AC⊥l，BD⊂β，BD⊥l，若AB = 6，AC = 3，BD = 4，CD = 7，求二面角α - l - β的大小.

答案：
解 如图1-2-33所示，在平面β内过A作BD的平行线AE，且使得AE=BD,连接CE, ED.
因为四边形AEDB是一个矩形，$\angle C A E$是二面角$\alpha - l - \beta$的一个平面角，且$A B \perp 面 A E C$，所以$E D \perp 面 A E C$，从而
C E =$\sqrt{C D^{2} - E D^{2}} = \sqrt{C D^{2} - A B^{2}} = \sqrt{7^{2} - 6^{2}} = \sqrt{1 3}$
在$\triangle A E C$中，由余弦定理可知
$\cos \angle C A E = \frac{A C^{2} + A E^{2} - C E^{2}}{2 A C \times A E} = \frac{3^{2} + 4^{2} - 1 3}{2 \times 3 \times 4} = \frac{1}{2}$,
因此$\angle C A E = \frac{π}{3}$.
即所求二面角的大小为$\frac{π}{3}$.