《2025年教材课本高中数学选择性必修第一册人教B版》

5.已知$\boldsymbol{a}=(x,-2,5)$与$\boldsymbol{b}=(1,y,-3)$平行，求$x$，$y$.

答案： 设$a=\lambda b$,即$(x,-2,5)=(\lambda,\lambda y,-3\lambda)$,
因此$\begin{cases}x=\lambda\\-2=\lambda y\\5=-3\lambda\end{cases}$,解得$\begin{cases}\lambda=-\frac{5}{3}\\x=-\frac{5}{3}\\y=\frac{6}{5}\end{cases}$.
故$x=-\frac{5}{3}$,$y=\frac{6}{5}$.

6.已知$\boldsymbol{a}=(-2,x,5)$与$\boldsymbol{b}=(-8,y,0)$垂直，求$x$，$y$应满足的条件.

答案： 因为$a\perp b$,所以$a\cdot b=(-2)\times(-8)+xy = 16 + xy = 0$,解得$xy=-16$.

7.已知$\boldsymbol{a}=(5,-3,12)$，$\boldsymbol{b}=(-2,0,5)$，求$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|^{2}$，$|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|^{2}$.

答案： $|a + b|^{2}=3^{2}+(-3)^{2}+17^{2}=9 + 9 + 17^{2}=307$.
$|a - b|^{2}=7^{2}+(-3)^{2}+7^{2}=49 + 9 + 49 = 107$.

8.已知$\boldsymbol{a}=(-2,1,3)$，$\boldsymbol{b}=(-1,2,1)$，若$\boldsymbol{a}\perp(\boldsymbol{a}-\lambda\boldsymbol{b})$，求实数$\lambda$的值.

答案： $a-\lambda b=(-2,1,3)-\lambda(-1,2,1)=(-2,1,3)-(-\lambda,2\lambda,\lambda)=(\lambda - 2,1 - 2\lambda,3 - \lambda)$.
因为$a\perp(a-\lambda b)$,所以$a\cdot(a-\lambda b)=0$,
即$a\cdot(a-\lambda b)=-2(\lambda - 2)+(1 - 2\lambda)+3(3 - \lambda)=-7\lambda + 14 = 0$,解得$\lambda = 2$.

9.已知向量$\boldsymbol{a}=(1,0,-1)$，$\boldsymbol{b}=(0,1,-1)$，求一个空间向量$\boldsymbol{n}$，使$\boldsymbol{n}\perp\boldsymbol{a}$且$\boldsymbol{n}\perp\boldsymbol{b}$.

答案： 设$n=(x,y,z)$,因为$n\perp a$且$n\perp b$,所以$n\cdot a = 0$,$n\cdot b = 0$,
即$\begin{cases}x - z = 0\\y - z = 0\end{cases}$,取$x = 1$,则$y = 1$,$z = 1$,所以$n=(1,1,1)$是使$n\perp a$且$n\perp b$的一个空间向量.

1.已知四棱柱$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$的底面$ABCD$是平行四边形，且$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{AD}=\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{AA_{1}}=\boldsymbol{c}$，则$\overrightarrow{BD_{1}}=$（ ）.
　　　(A)$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}$　　(B)$-\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}$　　(C)$\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}$　　(D)$-\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}$

答案： B $\overrightarrow{BD_{1}}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DD_{1}}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA_{1}}=-a + b + c$.

2.分别求下列各组向量夹角的余弦值:
　　　(1)$\boldsymbol{a}=(3,-5,1)$，$\boldsymbol{b}=(3,2,0)$;
　　　(2)$\boldsymbol{c}=(-1,3,-5)$，$\boldsymbol{d}=(3,12,0)$.

答案：
(1)$|a|=\sqrt{3^{2}+(-5)^{2}+1^{2}}=\sqrt{35}$,$|b|=\sqrt{3^{2}+2^{2}+0^{2}}=\sqrt{13}$,
所以$\cos\langle a,b\rangle=\frac{a\cdot b}{|a||b|}=\frac{3×3+(-5)×2 + 1×0}{\sqrt{35}\times\sqrt{13}}=-\frac{\sqrt{455}}{455}$.
(2)$|c|=\sqrt{(-1)^{2}+3^{2}+(-5)^{2}}=\sqrt{35}$,$|d|=\sqrt{3^{2}+12^{2}+0^{2}}=3\sqrt{17}$,
所以$\cos\langle c,d\rangle=\frac{c\cdot d}{|c||d|}=\frac{-1×3 + 3×12+(-5)×0}{\sqrt{35}\times3\sqrt{17}}=\frac{11\sqrt{595}}{595}$.

3.一个棱长为1的正方体，对称中心在原点且每一个面都平行于坐标平面，写出这个正方体8个顶点的坐标.

答案：
记棱长为1的正方体为正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$,依题意建立如图D1所示的空间直角坐标系.
则$A(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$,$B(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2})$,$C(-\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2})$,$D(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$,$A_{1}(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$,$B_{1}(\frac{1}{2},\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$,$C_{1}(-\frac{1}{2},\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$,$D_{1}(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$.

4.已知正方体$ABCD - A'B'C'D'$的棱长为1，且$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{AD}=\boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{AA'}=\boldsymbol{c}$，求:
　　　(1)$\boldsymbol{a}\cdot(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})$;　　　　　　　　　　　(2)$\boldsymbol{a}\cdot(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})$;
　　　(3)$(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})$;　　　　　　　　(4)$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}|$.

答案： 依题意知$\langle a,b\rangle = 90^{\circ}$,$\langle a,c\rangle = 90^{\circ}$,$\langle b,c\rangle = 90^{\circ}$.
(1)$a\cdot(b + c)=a\cdot b + a\cdot c = 0 + 0 = 0$.
(2)$a\cdot(a + b + c)=a^{2}+a\cdot b + a\cdot c = 1^{2}+0 + 0 = 1$.
(3)$(a + b)\cdot(b + c)=a\cdot b + a\cdot c + b^{2}+b\cdot c = 0 + 0 + 1^{2}+0 = 1$.
(4)$|a + b + c|=\sqrt{(a + b + c)^{2}}=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+2a\cdot b + 2a\cdot c + 2b\cdot c}=\sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}+0 + 0 + 0}=\sqrt{3}$.

5.已知点$A(1,0,1)$，$B(1,1,1)$，$C(-3,1,5)$，求向量$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$的长度.

答案： 易知$\overrightarrow{AB}=(0,1,0)$,$\overrightarrow{AC}=(-4,1,4)$,
所以$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{0^{2}+1^{2}+0^{2}} = 1$,$|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{(-4)^{2}+1^{2}+4^{2}}=\sqrt{33}$.

6.分别求与$\boldsymbol{a}$方向相同的单位向量:
　　　(1)$\boldsymbol{a}=(2,-3,5)$;　　　　　　　　(2)$\boldsymbol{a}=(0,-3,4)$.

答案：
(1)因为$|a|=\sqrt{2^{2}+(-3)^{2}+5^{2}}=\sqrt{38}$,
所以与$a$方向相同的单位向量为$e=\frac{a}{|a|}=\frac{1}{\sqrt{38}}(2,-3,5)=(\frac{\sqrt{38}}{19},-\frac{3\sqrt{38}}{38},\frac{5\sqrt{38}}{38})$.
(2)因为$|a|=\sqrt{0^{2}+(-3)^{2}+4^{2}} = 5$,
所以与$a$方向相同的单位向量为$e=\frac{a}{|a|}=\frac{1}{5}(0,-3,4)=(0,-\frac{3}{5},\frac{4}{5})$.

7.在空间直角坐标系中，已知点$P(x,y,z)$，下列叙述正确的序号有______.
　　　①点$P$关于$x$轴的对称点是$P_{1}(x,-y,z)$
　　　②点$P$关于$yOz$平面的对称点是$P_{2}(x,-y,-z)$
　　　③点$P$关于$y$轴的对称点是$P_{3}(x,-y,z)$
　　　④点$P$关于原点的对称点是$P_{4}(-x,-y,-z)$

答案： ④
①点$P$关于$x$轴的对称点是$P_{1}(x,-y,-z)$,故①错误.
②点$P$关于$yOz$平面的对称点是$P_{2}(-x,y,z)$,故②错误.
③点$P$关于$y$轴的对称点是$P_{3}(-x,y,-z)$,故③错误.
④点$P$关于原点的对称点是$P_{4}(-x,-y,-z)$,故④正确.