《2025年教材课本高中数学选择性必修第一册人教B版》

例3 已知直线l：$x + y + 2 = 0$与圆C：$x^{2}+y^{2}=9$相交于A，B两点.
（1）求线段AB的长；
（2）求线段AB中点的坐标.

答案：
解 （1）（方法一）如图2−3−11所示，设AB的中点为M，根据垂径定理可知OM⊥AB，因此△AMO是个直角三角形.由点到直线的距离公式可知
$|OM|=\frac{|2|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}=\sqrt{2}$，
又OA是圆的半径，因此$|OA|=\sqrt{9}=3$，
从而在Rt△AMO中，有$|AM|=\sqrt{|OA|^{2}-|OM|^{2}}=\sqrt{3^{2}-(\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{7}$.
因此$|AB|=2|AM|=2\sqrt{7}$.

（方法二）设A($x_{1}$，$y_{1}$)，B($x_{2}$，$y_{2}$)，则
$|AB|^{2}=(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}$.
因为A($x_{1}$，$y_{1}$)，B($x_{2}$，$y_{2}$)都是直线$x + y + 2 = 0$上的点，所以
$\begin{cases}x_{1}+y_{1}+2 = 0\\x_{2}+y_{2}+2 = 0\end{cases}$第二式减去第一式可得
$x_{2}-x_{1}+y_{2}-y_{1}=0$，因此$y_{2}-y_{1}=-(x_{2}-x_{1})$，
从而$|AB|^{2}=(x_{2}-x_{1})^{2}+[-(x_{2}-x_{1})]^{2}=2(x_{2}-x_{1})^{2}$.
又因为从方程组$\begin{cases}x + y + 2 = 0\\x^{2}+y^{2}=9\end{cases}$中消去y，整理可得
$2x^{2}+4x - 5 = 0$，而且$x_{1}$，$x_{2}$是这个方程的两个根，因此由韦达定理可知$\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-\frac{4}{2}=-2\\x_{1}x_{2}=\frac{-5}{2}=-\frac{5}{2}\end{cases}$
所以$(x_{2}-x_{1})^{2}=(x_{2}+x_{1})^{2}-4x_{1}x_{2}=(-2)^{2}-4×(-\frac{5}{2})=14$，
因此$|AB|^{2}=2×14 = 28$，从而可知$|AB|=2\sqrt{7}$.
（2）设A($x_{1}$，$y_{1}$)，B($x_{2}$，$y_{2}$)，且线段AB的中点坐标为($x_{0}$，$y_{0}$)，则
$x_{0}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}$，$y_{0}=\frac{y_{1}+y_{2}}{2}$.
由（1）中的方法二可知$x_{0}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=\frac{-2}{2}=-1$，
又因为直线l的方程可以化为$y = -x - 2$，
所以$y_{0}=\frac{y_{1}+y_{2}}{2}=\frac{(-x_{1}-2)+(-x_{2}-2)}{2}=-\frac{x_{1}+x_{2}}{2}-2=-(-1)-2=-1$，
因此所求中点坐标为(-1，-1).