《2025年教材课本高中数学选择性必修第一册人教B版》

1 已知直线$2x + y - 5 = 0$和圆$(x - 1)^{2}+(y + 2)^{2}=6$.
（1）求圆心到直线的距离d； （2）判断直线与圆的位置关系.

答案：
(1) 依题意知圆心坐标为$(1,-2)$，代入点到直线的距离公式可得$d = \frac{|2\times1 - 2 - 5|}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}}=\sqrt{5}$。
(2) 由圆的标准方程知圆的半径$r = \sqrt{6}$。
因为$\sqrt{5}＜\sqrt{6}$，即$d ＜ r$，所以直线与圆相交。

2 直线$x - y - 1 = 0$与圆$x^{2}+y^{2}=13$是否相交？如果相交，求出交点.

答案： 把直线方程与圆的方程联立，可得$\begin{cases}x - y - 1 = 0\\x^{2}+y^{2}=13\end{cases}$，解这个方程组得$\begin{cases}x = - 2\\y = - 3\end{cases}$或$\begin{cases}x = 3\\y = 2\end{cases}$。
所以直线与圆相交，交点为$(-2,-3)$和$(3,2)$。

3 判断下列直线与圆的位置关系：
（1）直线$4x - 3y + 6 = 0$与圆$x^{2}+y^{2}-8x + 2y - 8 = 0$；
（2）直线$2x - y + 5 = 0$与圆$x^{2}+y^{2}-4x + 3 = 0$.

答案：
(1) 把圆的方程化为标准形式可得$(x - 4)^{2}+(y + 1)^{2}=25$，所以圆心坐标为$(4,-1)$，半径$r = 5$。
圆心到直线$4x - 3y + 6 = 0$的距离$d=\frac{|4\times4 - 3\times(-1)+6|}{\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}}}=5 = r$，所以直线与圆相切。
(2) 联立两方程，得$\begin{cases}2x - y + 5 = 0\\x^{2}+y^{2}-4x + 3 = 0\end{cases}$，消去$y$并整理得$5x^{2}+16x + 28 = 0$，$\Delta = 16^{2}-4\times5\times28=-304＜0$，所以直线与圆相离。