《2025年教材课本高中数学选择性必修第一册人教B版》

4. 如果a,b,c不共面，那么这三个向量中能有两个互相平行吗？为什么？

答案： 如果$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$不共面，那么这三个向量两两不平行；因为空间中任意两个向量都是共面的，若$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$不共面，则$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$中没有两个向量是共线的，所以不平行. 

5. 已知a,b均为空间向量，分别判断下列各式是否恒成立：
$(1)(a+b)^2=a^2+2a⋅b+b^2;(2)(a−b)^2=a^2−2a⋅b+b^2;$
$(3)(a+b)⋅(a−b)=a^2−b^2.$

答案：
(1) 恒成立.
(2) 恒成立.
(3) 恒成立.

练习B
1. 如果$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$都是空间向量，判断
$||\boldsymbol{a}|-|\boldsymbol{b}||\leq|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|\leq|\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}|$
是否成立，并说明等号何时成立.

答案： 成立.
　当$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$共线且反向,或$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$至少有一个为$\boldsymbol{0}$时,
　$||\boldsymbol{a}|-|\boldsymbol{b}|| = |\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|$.
　当$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$共线且同向,或$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$至少有一个为$\boldsymbol{0}$时，
　$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}|$.

2. 已知空间四边形ABCD中，M，N分别是棱AB，CD的中点，化简下列各向量表达式：
（1）$\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{CN}$； （2）$\frac{1}{2}(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC})$.

答案：
(1)$\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{ND}=\overrightarrow{AD}$.
(2)取$AC$中点$T$，连接$MT$，$TN$.
　因为$MT$，$TN$分别为$\triangle ABC$，$\triangle ACD$的中位线，
　所以$\overrightarrow{MT}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{TN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$，所以$\frac{1}{2}(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC})=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{MT}+\overrightarrow{TN}=\overrightarrow{MN}$

3. 构造始点、终点都是平行六面体$ABCD - A'B'C'D'$顶点的向量，使它与下列各式所表示的向量分别相等：
（1）$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B'C'}$； （2）$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{A'D'}$； （3）$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AA'}$； （4）$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CC'}$； （5）$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CC'}-\overrightarrow{BA}$.

答案：
(1)$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B'C'}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.
(2)$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{A'D'}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}$.
(3)$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{BB'}=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BB'}=\overrightarrow{DB'}$
(4)$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DD'}=\overrightarrow{BD'}$
(5)$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CC'}-\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{AC'}$

4. 已知正方体$ABCD - A'B'C'D'$的棱长为1，求：
（1）$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{B'C'}$； （2）$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{D'C'}$； （3）$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{A'C'}$； （4）$\overrightarrow{B'D}\cdot\overrightarrow{AB}$.

答案：
(1)因为$\langle\overrightarrow{AB},\overrightarrow{B'C'}\rangle=\langle\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\rangle = 90^{\circ}$，
　所以$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{B'C'}=|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{B'C'}|\cos90^{\circ}=1\times1\times0 = 0$.
(2)因为$\langle\overrightarrow{AB},\overrightarrow{D'C'}\rangle = 0^{\circ}$，
　所以$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{D'C'}=|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{D'C'}|\cos\langle\overrightarrow{AB},\overrightarrow{D'C'}\rangle=1\times1\times\cos0^{\circ}=1$.
(3)因为$\langle\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A'C'}\rangle=\langle\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\rangle = 45^{\circ}$，$|\overrightarrow{A'C'}| = \sqrt{2}$，
　所以$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{A'C'}=|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{A'C'}|\cos\langle\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A'C'}\rangle=1\times\sqrt{2}\times\cos45^{\circ}=1$.
(4)$\overrightarrow{B'D}$在$\overrightarrow{AB}$上的投影为$\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{B'D}\cdot\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{AB}=-|\overrightarrow{BA}|\cdot|\overrightarrow{AB}|=-1$.

5. 已知$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$都是空间向量，且$|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|$，求$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}$.

答案：
∵$|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|$，
∴$|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|^{2}=|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|^{2}$，
∴$(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})^{2}=(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})^{2}$，
∴$\boldsymbol{a}^{2}-2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}^{2}=\boldsymbol{a}^{2}+2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}^{2}$，
∴$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=0$.

6. 已知$|\boldsymbol{a}| = 4$，向量$\boldsymbol{e}$为单位向量，$\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{e}\rangle=\frac{2\pi}{3}$，求向量$\boldsymbol{a}$在向量$\boldsymbol{e}$方向上的投影的数量.

答案： $\boldsymbol{a}$在单位向量$\boldsymbol{e}$方向上的投影的数量为$|\boldsymbol{a}|\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{e}\rangle=4\times\cos\frac{2\pi}{3}=-2$.