《2025年教材课本高中数学选择性必修第一册人教B版》

例4 如图1−2−39所示，已知直三棱柱ABC - A₁B₁C₁中，∠ACB = 90°，AC = BC = 1，AA₁ = 2，且D是AA₁的中点. 求平面BDC与平面BDC₁所成角的大小.

答案：
解 依题意, CA, CB,$C C_{1}$两两互相垂直。以C为原点，$\overrightarrow{C A} ， \overrightarrow{C B} ， \overrightarrow{C C_{1}}$的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图1-2-39所示的空间直角坐标系。则
C(0,0,0), B(0,1,0),
D(1,0,1), C₁(0,0,2),
所以$\overrightarrow{C B} = (0 , 1 , 0)$,$\overrightarrow{C D} = (1 , 0 , 1)$,
$\overrightarrow{D C_{1}} = ( - 1 , 0 , 1)$,$\overrightarrow{B C_{1}} = (0 , - 1 , 2)$
设平面BDC的一个法向量为$n = (x_{1} , y_{1} , z_{1})$，则

令$z_{1}$ = 1，则得$x_{1}$= - 1，$y_{1}$= 0，此时n=(-1,0,1).
设平面B D C_{1}$的一个法向量为m =$(x_{2} , y_{2} , z_{2})$，则令$z_{2} = 1$，则得$x_{2} = 1 ， y_{2} = 2$，此时m=(1,2,1).因为n·m = ( - 1)×1+ 0×2 + 1×1 =0,所以$\langle n ， m \rangle = 9 0 ^{\circ}$，从而可知平面BDC与平面$B D C_{1}$所成角的大小为$9 0 ^{\circ}$ ，
也就是说，这两个平面是互相垂直的。