《2025年教材课本高中数学选择性必修第一册人教B版》

例1 分别判断下列两个圆的位置关系：
（1）$C_1$：$(x - 1)^{2}+y^{2}=4$，$C_2$：$(x - 2)^{2}+(y + 1)^{2}=2$；
（2）$C_1$：$x^{2}+y^{2}-2y=0$，$C_2$：$x^{2}+y^{2}-2\sqrt{3}x - 6=0$.

答案： 解
(1)由方程可知圆$C_{1}$的圆心为(1，0)，半径$r_{1}$= 2 ;
圆$C_{2}$的圆心为(2，-1),半径$r_{2} = \sqrt{2}$
因此两圆的圆心距d =$ \sqrt{(2 - 1)^{2} + ( - 1 - 0)^{2}} = \sqrt{2}$,
又因为$2 - \sqrt{2}< \sqrt{2}< 2 + \sqrt{2}$ ,所以$r_{1} - r_{2}< d < r_{1} + r_{2}$,从而两个圆相交。
(2)将两圆的方程化为标准方程，
分别为$x^{2} + (y - 1)^{2} = 1^{2}$, $(x - \sqrt{3})^{2} + y^{2} = 3^{2}$,
由此可知$C_{1}$的圆心为(0，1)，半径$r_{1} = 1$;
圆$C_{2}$的圆心为$(\sqrt{3}，0)$半径$r_{2}$=3.
因此两圆的圆心距d =$\sqrt{(0 - \sqrt{3})^{2} + (1 - 0)^{2}}$= 2 ,
又因为3-1=2,所以$r_{2} - r_{1} = d$，从而可知两圆内切。

例2 判断圆$C_1$：$x^{2}+y^{2}=4$与圆$C_2$：$(x - 2)^{2}+(y - 1)^{2}=1$的位置关系，如果相交，求出它们交点所在的直线的方程.

答案： 解 两圆的圆心距为$\sqrt{(0 - 2)^{2} + (0 - 1)^{2}} = \sqrt{5}$,
又因为$2 - 1 < \sqrt{5}< 2 + 1$,所以圆$C_{1}与圆C_{2}$相交。
解方程组$\begin{cases}x^{2}+y^{2}= 4\\(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=1\end{cases}$
得，$\begin{cases}x = 2\\y = 0\end{cases}$或$\begin{cases}x = \frac{6}{5}\\y = \frac{8}{5}\end{cases}$
因此两圆的交点为(2,0),$(\frac{6}{5} , \frac{8}{5})$ ,
从而可以求得交点所在的直线方程为 2x+y-4=0