《2025年教材课本高中数学选择性必修第一册人教B版》

例1 已知直线$y = x + b$，圆$x^{2}+y^{2}=2$，分别求直线与圆相交、相切、相离时b的取值范围.

答案： 解 （方法一）联立直线的方程与圆的方程，得方程组
$\begin{cases}y = x + b\\x^{2}+y^{2}=2\end{cases}$从方程组中消去y，整理得
$2x^{2}+2bx + b^{2}-2 = 0$， ③
这个方程的判别式$\Delta=(2b)^{2}-4×2(b^{2}-2)=-4(b + 2)(b - 2)$.
当且仅当-2＜b＜2时，$\Delta＞0$，方程③有两个不相等的实数解，此时直线与圆有两个公共点，直线与圆相交；
当且仅当b = 2或b = -2时，$\Delta = 0$，方程③有两个相等的实数解，此时直线与圆只有一个公共点，直线与圆相切；
当且仅当b＜-2或b＞2时，$\Delta＜0$，方程③没有实数解，此时直线与圆没有公共点，直线与圆相离.
（方法二）因为圆的半径$r = \sqrt{2}$，圆心O(0，0)到直线$y = x + b$的距离为$d = \frac{|b|}{\sqrt{2}}$.
当且仅当d＜r，即$\frac{|b|}{\sqrt{2}}＜\sqrt{2}$，-2＜b＜2时，直线与圆相交；
当且仅当d = r，即$\frac{|b|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，b = 2或b = -2时，直线与圆相切；
当且仅当d＞r，即$\frac{|b|}{\sqrt{2}}＞\sqrt{2}$，b＜-2或b＞2时，直线与圆相离.

例2 已知M(1，2)是圆$x^{2}+y^{2}=5$上一点，求圆的过点M的切线方程.

答案：
解 （方法一）如果切线的斜率不存在，则切线方程为$x = 1$，但圆心O(0，0)到$x = 1$的距离为1，不等于圆的半径$\sqrt{5}$，矛盾.
因此切线的斜率一定存在，设为k，从而切线方程为$y - 2 = k(x - 1)$，即$kx - y + 2 - k = 0$，从而由圆心到切线的距离等于圆的半径可知
$\frac{|2 - k|}{\sqrt{k^{2}+1}}=\sqrt{5}$，解得$k = -\frac{1}{2}$，
所以切线的点斜式方程为$y - 2 = -\frac{1}{2}(x - 1)$，
因此所求方程为$x + 2y - 5 = 0$.
（方法二）圆的圆心为O，而且OM是与切线垂直的，如图2−3−10所示.
因为$k_{OM}=\frac{2 - 0}{1 - 0}=2$，所以切线的斜率为$-\frac{1}{2}$，
从而可知切线的点斜式方程为$y - 2 = -\frac{1}{2}(x - 1)$，
因此所求方程为$x + 2y - 5 = 0$.