《2025年教材课本高中数学选择性必修第一册人教B版》

例1 如图1 - 1 - 17所示，已知斜三棱柱$ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$中，$\overrightarrow{AB} = \boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{AC} = \boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{AA_{1}} = \boldsymbol{c}$，在$AC_{1}$上和$BC$上分别有一点$M$和$N$，且
$\overrightarrow{AM} = k\overrightarrow{AC_{1}}$，$\overrightarrow{BN} = k\overrightarrow{BC}$，
其中$0 \leq k \leq 1$. 求证：$\overrightarrow{MN}$，$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{c}$共面.

答案： 证明 因为
$\overrightarrow{AM} = k\overrightarrow{AC_{1}} = k\boldsymbol{b} + k\boldsymbol{c}$，$\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BN} = \boldsymbol{a} + k\overrightarrow{BC}$$= \boldsymbol{a} + k(-\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b})$$= (1 - k)\boldsymbol{a} + k\boldsymbol{b}$，所以$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AM} = (1 - k)\boldsymbol{a} + k\boldsymbol{b} - k\boldsymbol{b} - k\boldsymbol{c} = (1 - k)\boldsymbol{a} - k\boldsymbol{c}$.
由共面向量定理可知，$\overrightarrow{MN}$，$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{c}$共面.