《2025年教材课本高中数学选择性必修第一册人教B版》

例1 已知正方体ABCD−A₁B₁C₁D₁中，E为C₁D₁的中点，求证：直线BD₁与直线CE不平行.

答案：
证明：以D为原点，$\overrightarrow{DA}$，$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{DD_{1}}$的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，正方体的棱长为单位长度，
建立如图1−2−3所示的空间直角坐标系. 则$B(1,1,0)$，$D_{1}(0,0,1)$，$C(0,1,0)$，$E(0,\frac{1}{2},1)$，
所以$\overrightarrow{BD_{1}}=(-1,-1,1)$，$\overrightarrow{CE}=(0,-\frac{1}{2},1)$.
又因为$\frac{0}{-1}\neq\frac{-\frac{1}{2}}{-1}$，所以$\overrightarrow{BD_{1}}$与$\overrightarrow{CE}$不平行.
因为$\overrightarrow{BD_{1}}$为直线BD₁的一个方向向量，$\overrightarrow{CE}$为直线CE的一个方向向量，当$BD_{1}//CE$时，必有$\overrightarrow{BD_{1}}//\overrightarrow{CE}$. 由上可知直线BD₁与直线CE不平行.