《2025年教材课本高中数学选择性必修第一册人教B版》

⑤ 已知四面体ABCD中，AB = AC，DB = DC，点M为棱BC的中点，指出平面ADM的一个法向量. 哪两个平面互相垂直？为什么？

答案： $\overrightarrow{BC}$为平面$ADM$的一个法向量.
平面$ADM$与平面$BCD$互相垂直;平面$ABC$与平面$ADM$垂直.
$\because AB = AC$,$M$为$BC$中点,$\therefore AM\perp BC$.
$\because DB = DC$,$\therefore DM\perp BC$,
又$AM\cap DM = M$,$\therefore BC\perp$平面$ADM$.
又$BC\subset$平面$BCD$,$\therefore$平面$ADM\perp$平面$BCD$.
同理,可证平面$ABC\perp$平面$ADM$.

⑥ 已知线段AB在平面α内的射影是A'B'，分别根据下列条件求直线AB与平面α所成角的大小：
(1) AB = 6，A'B' = 3； (2) AB = $\sqrt{2}$，A'B' = 1；
(3) AB = 2，A'B' = 2； (4) AB = 2，A'B' = 0.

答案：  设$AB$与平面$\alpha$所成角为$\theta$.
(1)$\cos\theta=\frac{A'B'}{AB}=\frac{1}{2}$,$\therefore\theta=\frac{\pi}{3}$.
(2)$\cos\theta=\frac{A'B'}{AB}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\therefore\theta=\frac{\pi}{4}$.
(3)$\cos\theta=\frac{A'B'}{AB}=\frac{2}{2}=1$,$\therefore\theta = 0$.
(4)$\cos\theta=\frac{A'B'}{AB}=0$,$\therefore\theta=\frac{\pi}{2}$.

⑦ 如图所示，在正方体ABCD - A'B'C'D'中，求直线DA'与直线AC所成角的大小.

答案：
 如图D4,以$D$为原点,分别以$DA$,$DC$,$DD'$所在直线为$x$轴,$y$轴,$z$轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为$a$,则$A'(a,0,a)$,$A(a,0,0)$,$C(0,a,0)$,故$\overrightarrow{DA'}=(a,0,a)$,$\overrightarrow{CA}=(a,-a,0)$.
$\cos\langle\overrightarrow{DA'},\overrightarrow{CA}\rangle=\frac{\overrightarrow{DA'}\cdot\overrightarrow{CA}}{|\overrightarrow{DA'}||\overrightarrow{CA}|}=\frac{a^{2}}{2a^{2}}=\frac{1}{2}$,
所以$\langle\overrightarrow{DA'},\overrightarrow{CA}\rangle=\frac{\pi}{3}$,故直线$DA'$与直线$AC$所成角的大小为$\frac{\pi}{3}$.

⑧ 已知二面角P - AB - P'的大小为$\frac{\pi}{4}$，且P'P⊥平面ABP，△ABP的面积为5，求△ABP'的面积.

答案：
如图D5,过点$P$作$PM\perp AB$于点$M$,连接$P'M$.
由题意知$\angle P'MP$就是二面角$P - AB - P'$的平面角,
$\therefore\angle P'MP=\frac{\pi}{4}$,$\therefore P'M=\sqrt{2}PM$,
$\therefore\frac{S_{\triangle ABP}}{S_{\triangle ABP'}}=\frac{\frac{1}{2}AB\times PM}{\frac{1}{2}AB\times P'M}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
又$S_{\triangle ABP}=5$,$\therefore S_{\triangle ABP'}=5\sqrt{2}$.

习题1-2B
① 已知AB是平面α的一条斜线且B为斜足，设AB的射影是A'B，而l是与平面α平行的一条直线. 判断下列命题是否成立，并用空间向量证明：
(1) 当l⊥A'B时，l⊥AB； (2) 当l⊥AB时，l⊥A'B.

答案：
(1)成立.设$l$的一个方向向量为$\boldsymbol{n}$,
$\because AA'\perp\alpha$,且$l//\alpha$,$\therefore\overrightarrow{AA'}\cdot\boldsymbol{n}=0$.
又$l\perp\overrightarrow{A'B}$,$\therefore\overrightarrow{A'B}\cdot\boldsymbol{n}=0$.
$\therefore\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{n}(\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{A'B})=\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{AA'}+\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{A'B}=0$,
故$l\perp AB$.
(2)成立.设$l$的一个方向向量为$\boldsymbol{m}$.
$\because AA'\perp\alpha$,且$l//\alpha$,$\therefore\overrightarrow{AA'}\cdot\boldsymbol{m}=0$.
又$l\perp AB$,$\therefore\overrightarrow{AB}\cdot\boldsymbol{m}=0$,
$\therefore\boldsymbol{m}\cdot\overrightarrow{A'B}=\boldsymbol{m}(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AA'})=\boldsymbol{m}\cdot\overrightarrow{AB}-\boldsymbol{m}\cdot\overrightarrow{AA'}=0$,
故$l\perp A'B$.

② 已知ABCD - A₁B₁C₁D₁是正方体，分别写出AB与A₁D₁，AD与D₁C₁，A₁C₁与BD的公垂线段.

答案：  $AB$与$A_{1}D_{1}$的公垂线段为$A_{1}A$;
$AD$与$D_{1}C_{1}$的公垂线段为$D_{1}D$;
记线段$A_{1}C_{1}$,$BD$的中点分别为$O_{1}$,$O$,连接$OO_{1}$,则$A_{1}C_{1}$与$BD$的公垂线段为$OO_{1}$.

③ 如图所示，已知四棱锥P - ABCD中，ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，PD = 3，AB = 5，BC = 4，求下列各对异面直线所成角的余弦值：
(1) PC与AB；
(2) PD与AB；
(3) PA与BC.

答案：
(1)$\because AB// DC$,$\therefore\angle PCD$等于$PC$与$AB$所成的角.
$\therefore\cos\angle PCD=\frac{CD}{PC}=\frac{5}{\sqrt{3^{2}+5^{2}}}=\frac{5\sqrt{34}}{34}$.
(2)$\because PD\perp$平面$ABCD$,$AB\subset$平面$ABCD$,$\therefore PD\perp AB$,
故$PD$与$AB$所成角的余弦值为$0$.
(3)$\because BC// AD$,$\therefore\angle PAD$等于$PA$与$BC$所成的角.
$\therefore\cos\angle PAD=\frac{DA}{PA}=\frac{4}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}=\frac{4}{5}$.