《2025年教材课本高中数学选择性必修第一册人教B版》

1. 设椭圆$\frac{x^2}{2}+y^2 = 1$的两个焦点为$F_1$，$F_2$，且$P$为椭圆上一点，求$|PF_1|+|PF_2|$的值.

答案： 易知$a = \sqrt{2}$. 由$P$为椭圆上一点，结合椭圆定义，可得$|PF_{1}|+|PF_{2}| = 2a = 2\sqrt{2}$.

2. 设$M$是椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$上一点，$F_1$，$F_2$是椭圆的焦点，如果点$M$到焦点$F_1$的距离为4，那么点$M$到焦点$F_2$的距离是多少？

答案： 由椭圆的标准方程$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$可得$a = 5$.
因为$M$为椭圆上一点，所以$|MF_{1}|+|MF_{2}| = 10$，所以$|MF_{2}| = 10 - |MF_{1}| = 10 - 4 = 6$.
故点$M$到焦点$F_{2}$的距离为$6$.

3. 分别根据下列条件，求椭圆的标准方程：
(1)$a=\sqrt{3}$，$b = 1$，焦点在$x$轴上；
(2)$b = 3$，经过点$(0,-4)$，焦点在$y$轴上.

答案：
(1) 因为椭圆的焦点在$x$轴上，所以可设椭圆标准方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a＞b＞0)$，将$a = \sqrt{3}$，$b = 1$代入得椭圆的标准方程为$\frac{x^{2}}{3}+y^{2}=1$.
(2) 因为椭圆的焦点在$y$轴上，所以设椭圆的标准方程为$\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}} = 1(a＞b＞0)$.
由已知得$a = 4$，因此椭圆的标准方程为$\frac{y^{2}}{16}+\frac{x^{2}}{9}=1$.