《2025年教材课本高中数学选择性必修第一册人教B版》

2. 设n₁=(-2，2，5)，n₂=(3，-2，2)分别是空间中平面α，β的法向量，判断平面α，β是否垂直.

答案： $\cos\langle\boldsymbol{n}_{1},\boldsymbol{n}_{2}\rangle=\frac{\boldsymbol{n}_{1}\cdot\boldsymbol{n}_{2}}{\vert\boldsymbol{n}_{1}\vert\vert\boldsymbol{n}_{2}\vert}=\frac{-2\times3 + 2\times(-2)+5\times2}{\sqrt{(-2)^{2}+2^{2}+5^{2}}\times\sqrt{3^{2}+(-2)^{2}+2^{2}}}=0$，$\therefore\langle\boldsymbol{n}_{1},\boldsymbol{n}_{2}\rangle = 90^{\circ},\therefore\alpha\perp\beta$.

3. 如果平面α与平面β平行，n是平面α的一个法向量，那么n是平面β的一个法向量吗？

答案： $\because\boldsymbol{n}\perp\alpha,\alpha//\beta,\therefore\boldsymbol{n}\perp\beta,\therefore\boldsymbol{n}$是平面$\beta$的一个法向量.

1. 已知n₁⊥α，n₂⊥α，是否一定存在非零实数λ，使得n₂ = λn₁？为什么？

答案： 一定. 若$\boldsymbol{n}_{1}\perp\alpha,\boldsymbol{n}_{2}\perp\alpha$，则$\boldsymbol{n}_{1}//\boldsymbol{n}_{2}$，且$\boldsymbol{n}_{1},\boldsymbol{n}_{2}$均为非零向量，一定存在非零实数$\lambda$，使得$\boldsymbol{n}_{2}=\lambda\boldsymbol{n}_{1}$.

2. 用平面的法向量证明平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行.

答案： 已知两平面$\alpha,\beta$，直线$AB\subset\alpha$，直线$CD\subset\alpha$，$AB\cap CD = O$，$AB//\beta$，$CD//\beta$. 证明：$\alpha//\beta$.证明：设平面$\beta$的一个法向量为$\boldsymbol{n}$. $\because AB//\beta$，$CD//\beta$，$\therefore\overrightarrow{AB}\perp\boldsymbol{n}$，$\overrightarrow{CD}\perp\boldsymbol{n}$，即$\overrightarrow{AB}\cdot\boldsymbol{n}=0$，$\overrightarrow{CD}\cdot\boldsymbol{n}=0$.又$AB\cap CD = O$，设直线$EF\subset\alpha$，所以根据平面向量基本定理可知，存在一组有序数对$(x,y)$使得$\overrightarrow{EF}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{CD}$，则$\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{EF}=\boldsymbol{n}\cdot(x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{CD})=x\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{AB}+y\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{CD}=0$，即$\boldsymbol{n}\perp\overrightarrow{EF}$.由$\overrightarrow{EF}$的任意性可知$\boldsymbol{n}$与$\alpha$内任一向量都垂直，即$\boldsymbol{n}$也是$\alpha$的法向量，$\therefore\alpha//\beta$.

3. 已知A(3，0，0)，B(0，4，0)，C(0，0，5)，求平面ABC的一个法向量的坐标.

答案： $\overrightarrow{AB}=(-3,4,0)$，$\overrightarrow{AC}=(-3,0,5)$.设平面$ABC$的一个法向量为$\boldsymbol{n}_{1}=(x,y,z)$，那么$\begin{cases}\boldsymbol{n}_{1}\cdot\overrightarrow{AB}=0,\\\boldsymbol{n}_{1}\cdot\overrightarrow{AC}=0,\end{cases}$即$\begin{cases}-3x + 4y = 0,\\-3x + 5z = 0,\end{cases}$不妨令$x = 1$，则$\begin{cases}y=\frac{3}{4},\\z=\frac{3}{5},\end{cases}$因此平面$ABC$的一个法向量的坐标为$(1,\frac{3}{4},\frac{3}{5})$.

4. 如图所示，已知四棱锥P - ABCD的底面ABCD是平行四边形，且PA⊥底面ABCD，如果BC⊥PB，求证：ABCD是矩形.

答案： $\because PA\perp$平面$ABCD$，$BC\subset$平面$ABCD$，$\therefore PA\perp BC$.又$PA\cap PB = P$，且$BC\perp PB$，$\therefore BC\perp$平面$PAB$，$\therefore BC\perp AB$.又$ABCD$为平行四边形，$\therefore ABCD$为矩形.

5. 如图所示，已知△ABC中，AC = BC，D为AB的中点，O为CD上一点，PO⊥平面ABC，求证：AB⊥PC.

答案： $\because PO\perp$平面$ABC$，$AB\subset$平面$ABC$，$\therefore PO\perp AB$.$\because AC = BC$，$D$为$AB$中点，$\therefore AB\perp CD$.又$CD\cap PO = O$，$\therefore AB\perp$平面$PCD$.$\because PC\subset$平面$PCD$，$\therefore AB\perp PC$.