《2025年教材课本高中数学选择性必修第一册人教B版》

例5 如图1−1−15所示长方体$ABCD - A'B'C'D'$中，E是$AA'$的中点，$AA' = AD = 2$，$AB = 4$，求：
（1）$\overrightarrow{BC'}\cdot\overrightarrow{AE}$； （2）$\overrightarrow{B'D}\cdot\overrightarrow{AE}$.

答案： 解 （1）（方法一）因为是长方体，而且$AA' = AD = 2$，所以$\langle\overrightarrow{BC'},\overrightarrow{AE}\rangle=\angle B'BC' = 45^{\circ}$，$|\overrightarrow{AE}|=\frac{1}{2}AA' = 1$，$|\overrightarrow{BC'}|=BC'=\sqrt{2^{2}+2^{2}} = 2\sqrt{2}$，因此$\overrightarrow{BC'}\cdot\overrightarrow{AE}=|\overrightarrow{BC'}||\overrightarrow{AE}|\cos\langle\overrightarrow{BC'},\overrightarrow{AE}\rangle=2\sqrt{2}\times1\times\frac{\sqrt{2}}{2}=2$.
（方法二）由图可以看出，$\overrightarrow{BC'}$在$\overrightarrow{AE}$上的投影是$\overrightarrow{AA'}$，而且$|\overrightarrow{AE}|=\frac{1}{2}AA' = 1$，注意到$\overrightarrow{AA'}$与$\overrightarrow{AE}$的方向相同，所以$\overrightarrow{BC'}\cdot\overrightarrow{AE}$等于$\overrightarrow{AA'}$的长，即$\overrightarrow{BC'}\cdot\overrightarrow{AE}=|\overrightarrow{AA'}| = 2$.
（2）由图可以看出，$\overrightarrow{B'D}$在$\overrightarrow{AE}$上的投影是$\overrightarrow{A'A}$，而且$|\overrightarrow{AE}|=\frac{1}{2}AA' = 1$，注意到$\overrightarrow{A'A}$与$\overrightarrow{AE}$的方向相反，所以$\overrightarrow{B'D}\cdot\overrightarrow{AE}$等于$\overrightarrow{A'A}$的长的相反数，即$\overrightarrow{B'D}\cdot\overrightarrow{AE}=-|\overrightarrow{A'A}|=-2$.

1. 在正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，判断下列各组向量是否共面：
（1）$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{D_{1}C_{1}}$； （2）$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{A_{1}D_{1}}$； （3）$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{DD_{1}}$.

答案：
(1)共面，因为空间中任意两个向量都是共面的.
(2)共面,因为$\overrightarrow{A_{1}D_{1}}$经过平移可以到达$\overrightarrow{AD}$的位置,而$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{AD}$都在平面$ABCD$内.
(3)不共面,因为$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{BC}$在平面$ABCD$内,而$\overrightarrow{DD_{1}}$的始点$D$在平面$ABCD$内,终点$D_{1}$不在平面$ABCD$内

2. 化简：$\frac{1}{2}(\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}-3\boldsymbol{c})+5(\frac{2}{3}\boldsymbol{a}-\frac{1}{2}\boldsymbol{b}+\frac{2}{3}\boldsymbol{c})-3(\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})$.

答案： 原式$=(\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}-\frac{3}{2}\boldsymbol{c})+(\frac{10}{3}\boldsymbol{a}-\frac{5}{2}\boldsymbol{b}+\frac{10}{3}\boldsymbol{c})-(3\boldsymbol{a}-6\boldsymbol{b}+3\boldsymbol{c})$
　　$=(\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\frac{10}{3}\boldsymbol{a}-3\boldsymbol{a})+(\boldsymbol{b}-\frac{5}{2}\boldsymbol{b}+6\boldsymbol{b})+(-\frac{3}{2}\boldsymbol{c}+\frac{10}{3}\boldsymbol{c}-3\boldsymbol{c})$
　　$=\frac{5}{6}\boldsymbol{a}+\frac{9}{2}\boldsymbol{b}-\frac{7}{6}\boldsymbol{c}$.

3. 已知$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$是一个正方体，写出下列向量夹角的大小：
（1）$\langle\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CC_{1}}\rangle$； （2）$\langle\overrightarrow{DD_{1}},\overrightarrow{BA_{1}}\rangle$.

答案：
(1)由于$\overrightarrow{CC_{1}}$与$\overrightarrow{AA_{1}}$方向是相同的,所以$\langle\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CC_{1}}\rangle=\langle\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AA_{1}}\rangle = 90^{\circ}$.
(2)由于$\overrightarrow{DD_{1}}$与$\overrightarrow{BB_{1}}$方向是相同的,所以$\langle\overrightarrow{DD_{1}},\overrightarrow{BA_{1}}\rangle=\langle\overrightarrow{BB_{1}},\overrightarrow{BA_{1}}\rangle = 45^{\circ}$.