《2025年教材课本高中数学选择性必修第一册人教B版》

1 如果θ是直线与平面所成的角，写出θ的取值范围.

答案： $\theta\in[0,\frac{\pi}{2}]$.

2 已知直线l与平面α所成的角为θ，且A，B是直线l上两点，分别根据以下条件，求线段AB在平面α内的射影的长：
（1）AB = 6，θ = $\frac{\pi}{6}$； （2）AB = 10，θ = $\frac{\pi}{4}$.

答案：
(1) 射影的长为$|AB|\cos\theta = 6\times\cos\frac{\pi}{6}=3\sqrt{3}$.
(2) 射影的长为$|AB|\cos\theta = 10\times\cos\frac{\pi}{4}=5\sqrt{2}$.

3 设l是平面α的一条斜线，直线l与平面α所成角的大小为θ. 如果v₁是直线l的一个方向向量，v₂是直线l在平面α内的射影的一个方向向量，通过作图讨论θ与〈v₁，v₂〉的关系.

答案：
如图D1所示：当$\boldsymbol{v}_{1}$与$\overrightarrow{MP}$同向时，$\theta=\langle\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2}\rangle$；当$\boldsymbol{v}_{1}$与$\overrightarrow{MQ}$同向时，$\theta=\pi-\langle\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2}\rangle$.

1 已知ABCD - A₁B₁C₁D₁是正方体，找出体对角线BD₁分别与平面ABCD、平面ABB₁A₁、平面BCC₁B₁所成的角，并求这些角的余弦值.

答案：
如图D2所示. 连接$A_{1}B,BD,BC_{1}$,设正方体棱长为1. $BD_{1}$与平面$ABCD$的夹角为$\angle D_{1}BD$，$\cos\angle D_{1}BD=\frac{|BD|}{|BD_{1}|}=\frac{\sqrt{6}}{3}$；$BD_{1}$与平面$ABB_{1}A_{1}$的夹角为$\angle D_{1}BA_{1}$，$\cos\angle D_{1}BA_{1}=\frac{|A_{1}B|}{|BD_{1}|}=\frac{\sqrt{6}}{3}$；$BD_{1}$与平面$BCC_{1}B_{1}$的夹角为$\angle D_{1}BC_{1}$，$\cos\angle D_{1}BC_{1}=\frac{|BC_{1}|}{|BD_{1}|}=\frac{\sqrt{6}}{3}$.

2 已知l是平面α内的一条直线，m是平面α的一条斜线，且m在平面α内的射影为m'，若l与m的夹角为60°，l与m'的夹角为45°，求m与平面α所成角的大小.

答案： 设$m$与平面$\alpha$所成的角为$\theta$. 由题意可得$\cos60^{\circ}=\cos45^{\circ}\cdot\cos\theta$，即$\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\theta$，$\therefore\cos\theta=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$\theta = 45^{\circ}$. 故$m$与平面$\alpha$所成的角的大小为$45^{\circ}$.

3 如图所示，已知正方体ABCD - A₁B₁C₁D₁中，M是BB₁的中点，求直线A₁M与平面AMC₁所成角的正弦值.

答案：
如图D3，以$D$为原点，$\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{DD_{1}}$的方向分别为$x$轴、$y$轴、$z$轴正方向，正方体棱长为单位长度建立空间直角坐标系，则$A_{1}(1,0,1),M(1,1,\frac{1}{2}),A(1,0,0),C_{1}(0,1,1)$，所以$\overrightarrow{A_{1}M}=(0,1,-\frac{1}{2}),\overrightarrow{AM}=(0,1,\frac{1}{2}),\overrightarrow{AC_{1}}=(-1,1,1)$. 设平面$AMC_{1}$的一个法向量为$\boldsymbol{n}=(x,y,z)$，则$\begin{cases}\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{AM}=y+\frac{1}{2}z = 0,\\\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{AC_{1}}=-x + y+z = 0,\end{cases}$取$z = 2$，可得平面$AMC_{1}$的一个法向量为$\boldsymbol{n}=(1,-1,2)$. 所以$\cos\langle\overrightarrow{A_{1}M},\boldsymbol{n}\rangle=\frac{\overrightarrow{A_{1}M}\cdot\boldsymbol{n}}{|\overrightarrow{A_{1}M}||\boldsymbol{n}|}=\frac{-2}{\frac{\sqrt{5}}{2}\times\sqrt{6}}=-\frac{2\sqrt{30}}{15}$，故$A_{1}M$与平面$AMC_{1}$所成角的正弦值为$\sin\theta=|\cos\langle\overrightarrow{A_{1}M},\boldsymbol{n}\rangle|=\frac{2\sqrt{30}}{15}$.