《2025年教材课本高中数学选择性必修第一册人教B版》

④ 如图所示，直三棱柱ABC - A₁B₁C₁中，AC⊥BC，点M在线段AB上，AC = BC = CC₁ = 3，AM = $\sqrt{2}$，求直线AC₁与平面B₁MC所成角的正弦值.

答案：
以$C$点为原点,分别以$CA$,$CB$,$CC_{1}$所在直线为$x$轴、$y$轴、$z$轴建立如图D6所示的空间直角坐标系,
则$C(0,0,0)$,$A(3,0,0)$,$C_{1}(0,0,3)$,$B_{1}(0,3,3)$,$B(0,3,0)$.
$\because|\overrightarrow{AB}| = 3\sqrt{2}$,$|\overrightarrow{AM}|=\sqrt{2}$,
$\therefore\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}=\frac{1}{3}(-3,3,0)=(-1,1,0)$,
$\therefore M(2,1,0)$,
$\therefore\overrightarrow{AC_{1}}=(-3,0,3)$,$\overrightarrow{CM}=(2,1,0)$,$\overrightarrow{CB_{1}}=(0,3,3)$.
设平面$B_{1}MC$的一个法向量为$\boldsymbol{n}=(x,y,z)$,
则$\begin{cases}\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{CM}=2x + y = 0\\\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{CB_{1}}=3y + 3z = 0\end{cases}$,
取$x = 1$,则平面$B_{1}MC$的一个法向量为$\boldsymbol{n}=(1,-2,2)$,
$\therefore\cos\langle\overrightarrow{AC_{1}},\boldsymbol{n}\rangle=\frac{\overrightarrow{AC_{1}}\cdot\boldsymbol{n}}{|\overrightarrow{AC_{1}}||\boldsymbol{n}|}=\frac{3}{3\sqrt{2}\times3}=\frac{\sqrt{2}}{6}$.
故直线$AC_{1}$与平面$B_{1}MC$所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{2}}{6}$.

⑤ 如图所示，已知四棱锥E - ABCD中，ABCD是直角梯形，∠ABC = ∠BAD = 90°，BE⊥平面ABCD，AB = BC = BE = 2AD = 6.
(1) 求点B到平面CDE的距离；
(2) 求二面角A - CD - E的正切值.

答案： 以$B$为坐标原点,分别以$\overrightarrow{BC}$,$\overrightarrow{BA}$,$\overrightarrow{BE}$的方向为$x$轴、$y$轴、$z$轴的正方向,建立空间直角坐标系.
(1)易知$B(0,0,0)$,$C(6,0,0)$,$D(3,6,0)$,$E(0,0,6)$,
$\therefore\overrightarrow{CD}=(-3,6,0)$,$\overrightarrow{CE}=(-6,0,6)$,$\overrightarrow{BC}=(6,0,0)$.
设平面$CDE$的一个法向量为$\boldsymbol{n}=(x,y,z)$,
则$\begin{cases}\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{CD}=-3x + 6y = 0\\\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{CE}=-6x + 6z = 0\end{cases}$,
取$x = 2$,则$\boldsymbol{n}=(2,1,2)$,
$\therefore$点$B$到平面$CDE$的距离$d=\frac{|\overrightarrow{BC}\cdot\boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}=\frac{12}{3}=4$.
(2)连接$AC$,易知平面$ACD$的一个法向量为$\overrightarrow{BE}=(0,0,6)$,
$\therefore\cos\langle\overrightarrow{BE},\boldsymbol{n}\rangle=\frac{\overrightarrow{BE}\cdot\boldsymbol{n}}{|\overrightarrow{BE}||\boldsymbol{n}|}=\frac{12}{18}=\frac{2}{3}$,$\sin\langle\overrightarrow{BE},\boldsymbol{n}\rangle=\frac{\sqrt{5}}{3}$.
故二面角$A - CD - E$的正切值为$\frac{\sqrt{5}}{2}$.

习题1-2C
① 已知直线l经过A(3，3，3)，B(0，6，0)两点，求点P(0，0，6)到l的距离.

答案： $\overrightarrow{AB}=(-3,3,-3)$,$\overrightarrow{AP}=(-3,-3,3)$,过点$P$作$PH\perp AB$于点$H$.
设$\overrightarrow{AH}=\lambda\cdot\overrightarrow{AB}=\lambda(-3,3,-3)=(-3\lambda,3\lambda,-3\lambda)$,
因此$\overrightarrow{PH}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AH}-\overrightarrow{AP}=(-3\lambda + 3,3\lambda + 3,-3\lambda - 3)$,
又$\overrightarrow{PH}\cdot\overrightarrow{AB}=0$,$\therefore -3(-3\lambda + 3)+3(3\lambda + 3)+(-3)(-3\lambda - 3)=0$,解得$\lambda = -\frac{1}{3}$.
$\therefore\overrightarrow{PH}=(4,2,-2)$,$\therefore|\overrightarrow{PH}|=\sqrt{4^{2}+2^{2}+(-2)^{2}} = 2\sqrt{6}$.故点$P$到$l$的距离为$2\sqrt{6}$.

② 已知正方体ABCD - A'B'C'D'中，E为A'B'的中点，F为CD的中点.
(1) 求证：BE//平面A'FD'；
(2) 若正方体的棱长为1，求BE到平面A'FD'的距离.

答案：
  如图D7,以$D'$为坐标原点,以$D'A'$,$D'C'$,$D'D$所在直线分别为$x$轴、$y$轴、$z$轴建立空间直角坐标系.
设正方体棱长为$a$,则$D'(0,0,0)$,$A'(a,0,0)$,$F(0,\frac{a}{2},a)$,$E(a,\frac{a}{2},0)$,$B(a,a,a)$.
(1)易知$\overrightarrow{D'F}=(0,\frac{a}{2},a)$,$\overrightarrow{BE}=(0,-\frac{a}{2},-a)$.
$\because\overrightarrow{BE}=-\overrightarrow{D'F}$,$\therefore BE// D'F$.
又$D'F\subset$平面$A'D'F$,而$BE\not\subset$平面$A'D'F$,
故$BE//$平面$A'FD'$.
(2)若正方体棱长为$1$,则$\overrightarrow{EA'}=(0,-\frac{1}{2},0)$,$\overrightarrow{D'A'}=(1,0,0)$,$\overrightarrow{D'F}=(0,\frac{1}{2},1)$.
设平面$A'D'F$的一个法向量为$\boldsymbol{n}=(x,y,z)$,
则$\begin{cases}\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{D'A'}=x = 0\\\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{D'F}=\frac{1}{2}y + z = 0\end{cases}$,
取$y = 2$,则平面$A'D'F$的一个法向量为$\boldsymbol{n}=(0,2,-1)$,
$\therefore$直线$BE$到平面$A'FD'$的距离为$d=\frac{|\overrightarrow{EA'}\cdot\boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}=\frac{|-1|}{\sqrt{0 + 2^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$.

③ 已知平面α与平面β互相平行，点A(0，0，1)在平面α内，B(2，1，0)，C(0，1，1)，D(1，0，0)三点都在平面β内. 求α，β之间的距离.

答案：  $\overrightarrow{BC}=(-2,0,1)$,$\overrightarrow{BD}=(-1,-1,0)$,$\overrightarrow{BA}=(-2,-1,1)$.
设平面$\beta$的一个法向量为$\boldsymbol{n}=(x,y,z)$,
则$\begin{cases}\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{BC}=-2x + z = 0\\\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{BD}=-x - y = 0\end{cases}$,
取$x = 1$,则平面$\beta$的一个法向量为$\boldsymbol{n}=(1,-1,2)$.
因此$\alpha$,$\beta$之间的距离为$d=\frac{|\overrightarrow{BA}\cdot\boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}=\frac{1}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{6}$.

④ 已知三棱锥S - ABC中，SA⊥底面ABC，∠ABC = 90°，SA = AB = 4，BC = 3，E是AB的中点，点F在BC上且FC = 2BF. 求点A到平面SEF的距离.

答案：
  由题意知,以$A$为原点,以$AB$,$AS$所在直线以及平面$ABC$内过点$A$且垂直于$AB$的一条直线分别为$x$轴、$z$轴、$y$轴建立如图D8所示的空间直角坐标系.由题意可知,$A(0,0,0)$,$B(4,0,0)$,$S(0,0,4)$,$E(2,0,0)$,$F(4,1,0)$.
易知$\overrightarrow{SE}=(2,0,-4)$,$\overrightarrow{EF}=(2,1,0)$,$\overrightarrow{AE}=(2,0,0)$.
设平面$SEF$的一个法向量$\boldsymbol{n}=(x,y,z)$,
则$\begin{cases}\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{SE}=2x - 4z = 0\\\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{EF}=2x + y = 0\end{cases}$,
取$z = 1$,则$\boldsymbol{n}=(2,-4,1)$为平面$SEF$的一个法向量.
故点$A$到平面$SEF$的距离为$d=\frac{|\overrightarrow{AE}\cdot\boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}=\frac{4}{\sqrt{21}}=\frac{4\sqrt{21}}{21}$.