《2025年教材课本高中数学选择性必修第一册人教B版》

例2 求平行线$l_1:3x - 4y + 3 = 0$与$l_2:6x - 8y - 5 = 0$之间的距离.

答案：

解 在$l_1$的方程中，令$y = 0$，则可得$x = -1$，因此$(-1,0)$是直线$l_1$上一点.

又因为$(-1,0)$到$6x - 8y - 5 = 0$的距离为

$\frac{|6\times(-1)-8\times0 - 5|}{\sqrt{6^2 + (-8)^2}}=\frac{11}{10}$，

所以所求距离为$\frac{11}{10}$.

例3 已知直线$l_1:Ax + By + C_1 = 0$，$l_2:Ax + By + C_2 = 0$，求证：$l_1$与$l_2$之间的距离为
$d=\frac{|C_2 - C_1|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$.

答案： 证明 设$P(x_1,y_1)$为$l_1$上一点，
则$Ax_1 + By_1 + C_1 = 0$，
从而$Ax_1 + By_1=-C_1$.
因为$P$到$l_2$的距离为$d=\frac{|Ax_1 + By_1 + C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}=\frac{|C_2 - C_1|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$，
所以结论成立.

① 分别求下列点到直线的距离：
(1)$O(0,0)$，$l:4x - 3y + 10 = 0$； (2)$A(2,-3)$，$l:x + y - 1 = 0$.

答案：
(1) $O(0,0)$到直线$l:4x - 3y + 10 = 0$的距离$d = \frac{|4\times0 - 3\times0 + 10|}{\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}}}=2$。
(2) $A(2,-3)$到直线$l:x + y - 1 = 0$的距离$d = \frac{|2 - 3 - 1|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}=\sqrt{2}$。

② 如果点$P(m,n)$到直线$x + y - 1 = 0$的距离为0，写出$m$，$n$满足的关系式.

答案： 方法一　点$P(m,n)$到直线$x + y - 1 = 0$的距离$d = \frac{|m + n - 1|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}$，依题意知$d = 0$，则$m + n - 1 = 0$，即$m + n = 1$。
方法二　易知点$P(m,n)$在直线$x + y - 1 = 0$上，所以$m + n - 1 = 0$，即$m + n = 1$。

③ 求平行线$2x - 3y + 5 = 0$与$2x - 3y - 8 = 0$之间的距离.

答案： 两平行线间的距离$d = \frac{|C_{2}-C_{1}|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}=\frac{|5 - (-8)|}{\sqrt{2^{2}+(-3)^{2}}}=\sqrt{13}$。

④ 如果点$P$到直线$l$的距离为$d$，且点$P$与直线$l$上一点$A$的距离为3，求$d$的取值范围.

答案： 由题设易知，$d\in[0,3]$。

① 分别写出点$P(x_0,y_0)$到$x = a$，$y = b$的距离.

答案： 点$P(x_{0},y_{0})$到$x = a$的距离为$|x_{0}-a|$，点$P(x_{0},y_{0})$到$y = b$的距离为$|y_{0}-b|$。

② 已知点$B(m,6)$到直线$y = 3x + 6$的距离为3，求实数$m$的值.

答案：  直线$y = 3x + 6$的一般式方程为$3x - y + 6 = 0$。所以点$B(m,6)$到直线的距离为$\frac{|3m - 6 + 6|}{\sqrt{3^{2}+(-1)^{2}}}=3$，解得$m = \pm\sqrt{10}$。

③ 求平行线$3x - 2y - 3 = 0$与$6x - 4y + 1 = 0$之间的距离.

答案： 直线方程$3x - 2y - 3 = 0$可化为$6x - 4y - 6 = 0$，所以直线$6x - 4y - 6 = 0$与$6x - 4y + 1 = 0$之间的距离$d = \frac{|-6 - 1|}{\sqrt{6^{2}+(-4)^{2}}}=\frac{7\sqrt{13}}{26}$。

④ 已知点$A(1,3)$，$B(2,1)$，$C(-1,0)$，求$\triangle ABC$的面积.

答案：  过点$A(1,3)$，$B(2,1)$的直线的两点式方程为$\frac{y - 3}{1 - 3}=\frac{x - 1}{2 - 1}$，化为一般式方程为$2x + y - 5 = 0$。点$C(-1,0)$到直线$AB$的距离$h = \frac{|2\times(-1)+0 - 5|}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}}=\frac{7\sqrt{5}}{5}$。又$|AB| = \sqrt{(1 - 2)^{2}+(3 - 1)^{2}}=\sqrt{5}$，所以$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\times h\times|AB|=\frac{1}{2}\times\frac{7\sqrt{5}}{5}\times\sqrt{5}=\frac{7}{2}$。