《2025年教材课本高中数学选择性必修第一册人教B版》

例2 已知ABCD - A'B'C'D'是正方体，求B'D'与平面A'BCD'所成角的大小.

答案：
解（方法一）以D 为原点，$\overrightarrow{D A} ，\overrightarrow{D C} ， \overrightarrow{D D}$的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，正方体的棱长为单位长度，建立如图 1-2-27 所示的空间直角坐标系。
则A′(1,0,1), B(1,1,0),D'(0,0,1),B'(1,1,1),
所以$\overrightarrow{A ' B}$= (0 , 1 , - 1), $\overrightarrow{A ' D} = ( - 1 , 0 , 0) ， \overrightarrow{D ' B '}$=(1,1,0)
设平面A'BCD'的一个法向量为n=(x,y,z),
则, 取z=1，可得n=(0,1,1)
又因为= $\frac{1}{\sqrt{2}\times \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$,
所以$\langle \overrightarrow{D ' B^{'}}$，$n \rangle = \frac{\pi}{3}$，从而可知$B^{\prime} D^{\prime}$与平面A'BCD'所成角的大小为
$\frac{π}{2} - \frac{π}{3} = \frac{π}{6}$.
（方法二）设A'B的中点为E，连接B'E, D'E, 如图1-2-28所示。
因为ABB'A'是正方形，所以B'E⊥A'B.又因为D'A'⊥平面ABB'A',
且B'E⊂平面ABB'A', 所以 D'A'⊥B'E.
再根据D'A'∩A'B=A'可知B'E⊥平面A'BCD'.
因此, B'D'在平面A'BCD'内的射影为D'E, 所以∠B'D'E就是B'D'与平面A'BCD'所成角。
因为正方体中有B'D'=2B'E,所以在$R t \triangle B ' E D '$中，$\sin \angle B ' D ' E=\frac{1}{2}$，又因为$\angle B ' D ' E$是一个锐角，所以$\angle B ' D ' E= \frac{π}{6}$;即$B^{\prime} D^{\prime}$与平面A'BCD'所成角的大小为$\frac{π}{6}$.